Vés al contingut

Funció gamma inversa

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure
La gràfica de la funció 1/Γ(x) al llarg de l'eix real.
Funció gamma inversa 1/Γ(z) al pla complex. El color d'un punt z codifica el valor de 1/Γ(z). Els colors forts denoten valors prop de zero i el matís codifica l'argument del valor.

En matemàtiques, la funció gamma inversa és la funció:

on denota la funció gamma. Atès que la funció gamma és meromorfa i no és zero a tot el pla complex, la seva inversa és una funció entera. Com a funció entera, és de l'ordre 1 (és a dir, que el no creix més ràpid que el ), però de tipus infinit (el que significa que creix més ràpid que qualsevol múltiple de , ja que el seu creixement és aproximadament proporcional a al pla esquerre).

Aquesta funció inversa s'utilitza de vegades com a punt de partida per a la computació numèrica de la funció gamma, i algunes biblioteques de programari la proporcionen per separat de la funció gamma regular.

Karl Weierstrass va anomenar la funció gamma inversa «factorial» i la va utilitzar en el seu desenvolupament del teorema de factorització de Weierstrass.

Desenvolupament en producte infinit

[modifica]

Seguint les definicions de producte infinit per a la funció gamma, segons Euler i Weierstrass, respectivament, obtenim el següent desenvolupament en producte infinit per a la funció gamma inversa:

on és la constant d'Euler-Mascheroni. Aquests desenvolupaments són vàlids per a tots els nombres complexos z.

Sèries de Taylor

[modifica]

Es produeix un desenvolupament de la sèrie de Taylor al voltant de

on és la constant d'Euler-Mascheroni. Per a , el coeficient per al terme es pot calcular recursivament com[1]

on és la funció zeta de Riemann. Fekih-Ahmed va trobar recentment una representació integral per a aquests coeficients:[2]

Per a valors petits, aquesta dona els següents valors:

Una aproximació per a es pot trobar a l'obra abans esmentada de Fekih-Ahmed:

on , i és la menys la primera branca de la funció W de Lambert.

Desenvolupament asimptòtic

[modifica]

Com tendeix a l'infinit a una constant tenim:

Representació integral de contorn

[modifica]

Una representació integral segons Hermann Hankel és

on és el contorn d'Hankel, és a dir, el camí que envolta en la direcció positiva, que comença i torna a infinit positiu pel que fa a la branca tallada al llarg de l'eix real positiu. Segons Schmelzer & Trefethen, l'avaluació numèrica de la integral d'Hankel és la base d'alguns dels millors mètodes per a la computació de la funció gamma.

Representacions integrals en els enters positius

[modifica]

Per a enters positius , hi ha una integral per a la funció factorial inversa donada per[3]

.

De la mateixa manera, per a qualsevol real i es té la següent integral per a la funció gamma inversa al llarg de l'eix real en forma de:[4]

on el cas particular quan proporciona una relació corresponent a la funció doble factorial inversa, .

Integral al llarg de l'eix real

[modifica]

La integració de la funció gamma inversa al llarg de l'eix real positiu dona el valor

que es coneix com la constant de Fransén-Robinson.

Referències

[modifica]
  1. Wrench, J.W. (1968). Concerning two series for the gamma function. Mathematics of Computation, 22, 617–626. and
    Wrench, J.W. (1973). Erratum: Concerning two series for the gamma function. Mathematics of Computation, 27, 681–682.
  2. Fekih-Ahmed, L. (2014). On the Power Series Expansion of the Reciprocal Gamma Function . HAL archives, https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01029331v1
  3. Graham, Knuth, and Patashnik. Concrete Mathematics. Addison-Wesley, 1994, p. 566. 
  4. «Integral formula for ».

Bibliografia

[modifica]

Vegeu també

[modifica]