Funció gaussiana

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure
Corbes gaussianes amb diferents paràmetres

En matemàtiques la funció gaussiana (en honor de Carl Friedrich Gauss), és una funció definida per l'expressió:

on a, b i c són constants reals (a > 0).

La gràfica de la funció és simètrica amb forma de campana, coneguda com a campana de Gauss. El paràmetre a és l'altura de la campana centrada en el punt b, determinant c l'ample d'aquesta.

Les funcions gaussianes s'utilitzen freqüentment en estadística corresponent, en el cas que a sigui igual a , a la funció de densitat d'una variable aleatòria amb distribució normal de mitjana μ=b i variància σ²=c².

Les funcions gaussianes amb c² = 2 són les autofuncions de la transformada de Fourier. Això significa que la transformada de Fourier d'una funció gaussiana no és només altra gaussiana, sinó a més un múltiple escalar de la funció original.

Propietats[modifica]

Les gaussianes es troben entre les funcions elementals, encara que no posseïxen primitives elementals. No obstant això, el valor exacte de la integral impròpia sobretot el rang real pot derivar-se a partir del valor de la integral de Gauss obtenint-se que:

El valor de la integral és 1 si i solament si , en aquest cas la funció gaussiana és la funció de densitat d'una variable aleatòria amb distribució normal de mitjana μ=b i variància σ²=c². El valor de l'amplada total a la meitat del màxim (FWHM) per la funció gaussiana és . Es mostren diverses gràfiques de funcions gaussianes en la imatge adjunta.

Aplicacions[modifica]

Forma tridimensional, usada també en antialiàsing

La primitiva d'una funció gaussiana és la funció error. Aquestes funcions apareixen en nombrosos contextos de les ciències naturals, ciències socials, matemàtiques i enginyeria. Alguns exemples: