Funció G-Barnes

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca

En matemàtiques, la funció G-Barnes, normalment escrit G(z), és una funció especial que constitueix una extensió a un domini complex de la seqüència de nombres enters superfactorials. Fins als factors elementals, és un cas especial de la funció gamma doble.

Es relaciona amb la funció Gamma, la funció K i la constant de Glaisher-Kinkelin. Posteriorment va ser nomenada en honor al matemàtic Ernest William Barnes (1874-1953).[1]

Formalment, la funció G-Barnes es defineix en la següent forma del producte de Weierstrass:

on és la constant d'Euler-Mascheroni, exp(x)= ex, i ∏ és el producte.

Equacions funcionals i arguments enters[modifica]

La funció G-Barnes satisfà l'equació funcional

amb normalització G (1) = 1.[Nota 1]

L'equació funcional implica que G té els següents valors en arguments enters:

(en particular, ) i per tant

on denota la funció gamma, i K denota la funció K.

L'equació funcional defineix de forma exclusiva la funció G-Barnes si és afegida la condició de convexitat: [2]

Fórmula de reflexió 1.0[modifica]

L'equació de diferència per a la funció G-Barnes, en conjunció amb l'equació funcional per a la funció gamma, pot ser utilitzada per a obtenir la següent fórmula de reflexió per a la funció de G-Barnes (originalment proporcionada per Hermann Kinkelin):

La integral logaritme-tangent del costat dret pot ser avaluada per parts en termes de la funció de Clausen (d'ordre 2), com es mostra a continuació:

La prova d'aquest resultat depèn de la següent avaluació de la integral cotangent: la introducció de la notació per a la integral logaritme-tangent, i utilitzant , s'obté la següent integració per parts:

Substituint en la integral dóna

La funció Clausen (d'ordre 2) té la representació integral

No obstant això, dins de l'interval , el signe de valor absolut de l'integrant es pot ometre, ja que el valor de la integral de la funció «mig-sinus» és estrictament positiva i diferent de zero. Comparant aquesta definició amb el resultat anterior per l'integral logaritme-tangent, es manté clarament la següent relació:

Per tant, després d'una lleugera reordenació dels termes, la verificació està completa:

Usant la relació i dividint la fórmula de reflexió per un factor de dóna la forma equivalent:[Nota 2]

Fórmula de reflexió 2.0[modifica]

Reemplaçant z per (1/2) − z'' en la fórmula de reflexió anterior dóna, després d'una certa simplificació, la fórmula equivalent que es mostra a continuació (que implica als polinomis de Bernoulli):

Ampliació de la sèrie de Taylor[modifica]

Pel teorema de Taylor, i tenint en compte les derivades logarítmiques de la funció G-Barnes, es pot obtenir la següent ampliació de la sèrie:

Això és vàlid per a . Aquí, és la funció zeta de Riemann:

Exponenciant banda i banda de l'ampliació de Taylor dóna:

Comparant això amb la forma del producte de Weierstrass de la funció G-Barnes, dóna la següent relació:

Per a té la següent ampliació de Taylor:

Fórmula de multiplicació[modifica]

Igual que la funció gamma, la funció G-Barnes també té una fórmula de multiplicació:[4]

on és una constant donada per:

Aquí, és la derivada de la funció zeta de Riemann, i és la constant de Glaisher-Kinkelin.

Expansió asimptòtica[modifica]

El logaritme de G(z + 1) té la següent expansió asimptòtica, establert per Barnes:

Aquí, són els nombres de Bernoulli i és la constant de Glaisher-Kinkelin.[Nota 3]

Aquesta expansió és vàlida per a en qualsevol sector que no conté l'eix real negatiu amb gran.

Relació amb la integral del logaritme de gamma[modifica]

La integral logaritme-gamma pot ser avaluada en termes de la funció G-Barnes.[Nota 4]

La prova és una mica indirecta, i consisteix en considerar primer la diferència logarítmica de la funció gamma i de la funció G-Barnes:

on

i és la constant d'Euler-Mascheroni.

Prenent el logaritme de les formes del producte de Weierstrass de la funció G-Barnes i de la funció gamma dóna:

Una petita simplificació i una reordenació dels termes dóna l'expansió de la sèrie:

Finalment, prenent el logaritme de la forma del producte de Weierstrass de la funció gamma, i integrant en l'interval s'obté:

Igualant les dues avaluacions es completa la demostració:

Relació amb la funció K[modifica]

La funció G-Barnes està estretament relacionada amb la funció gamma i amb la funció K.

Per als nombres naturals n, tenim

Per a tot tenim

[6]

Valors particulars[modifica]

Per a tenims els següents valors particulars:

on és la constant de Catalan, i és la constant de Glaisher-Kinkelin per la qual

Notes[modifica]

  1. Vegeu la similitud entre l'equació funcional de la funció G-Barnes i la funció gamma d'Euler:
  2. Veure Adamchik [3] per a una forma equivalent de la fórmula de reflexió, però amb una prova diferent.
  3. Hi ha que tenir en compte pot haver una confusió amb el nombre Bernoulli , escrit així en l'època de Barnes [5] i que actualment ja no s'escriu així.
  4. Aquest resultat es troba en Adamchik,[3] però ho va afirmar sense proves.

Referències[modifica]

  1. E. W. Barnes, "The theory of the G-function", Quarterly Journ. Pure and Appl. Math. 31 (1900), 264–314.
  2. M. F. Vignéras, L'équation fonctionelle de la fonction zêta de Selberg du groupe mudulaire SL, Astérisque 61, 235–249 (1979).
  3. 3,0 3,1 Adamchik, Viktor S. «Contributions to the Theory of the Barnes function».
  4. I. Vardi, Determinants of Laplacians and multiple gamma functions, SIAM J. Math. Anal. 19, 493–507 (1988).
  5. E. T. Whittaker and G.N.Watson, "A course of modern analysis", CUP.
  6. Eric Weisstein: Hyperfactorial

Enllaços externs[modifica]