Constant de Catalan

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca

En matemàtiques, la constant de Catalan (denotada K (en aquest article),  G (per exemple, Borwein et al. 2004, p. 49), o C  (Wolfram Language)), anomenada així en honor del matemàtic franco-belga Eugène Charles Catalan, és el nombre definit per:

on és la funció beta de Dirichlet.

El seu valor numèric és aproximadament:[1]

(seqüència A006752, OEIS)

No se sap si és irracional, i molt menys transcendent.[2]

Concretament, la constant de Catalan es defineix com el valor numèric de la següent integral:

on és la integral el·líptica de primera espècie.

La sèrie similar, però aparentment més complicada

es pot avaluar exactament i val .

Identitats integrals[modifica]

Algunes identitats que impliquen integrals definides inclouen:

on les últimes tres fórmules estan relacionades amb les integrals de Malmsten.[3]

Si és la integral el·líptica completa de primera espècia, com a funció del mòdul el·líptic , llavors

Amb la funció gamma

La integral

és una funció especial coneguda, anomenada integral tangent inversa, i estudiada àmpliament per Srinivasa Ramanujan.

Usos[modifica]

apareix en combinatòria, així com en valors de la segona funció poligamma, també anomenada funció trigamma, a arguments fraccionaris:

Simon Plouffe ofereix una col·lecció infinita d'identitats entre la funció trigamma, i la constant de Catalan; aquestes es poden expressar com a camins en un graf.

En la topologia en dimensions baixes, la constant de Catalan és un múltiple racional del volum d'un octàedre hiperbòlic ideal i, per tant, del volum hiperbòlic del complement de la baula de Whitehead.[4]

També apareix en relació amb la distribució hiperbòlica secant.

Relació amb altres funcions especials[modifica]

La constant de Catalan es produeix amb freqüència en relació amb la funció de Clausen, la integral tangent inversa, la integral de sinus inversa, la funció G-Barnes, així com les integrals i les sèries que es poden sumar en funció de les funcions esmentades.

Com a exemple concret, expressant primer la integral tangent inversa en la seva forma tancada (en termes de funcions Clausen) i després expressant les funcions Clausen en termes de la funció G-Barnes, s'obté la següent expressió (vegeu la funció de Clausen per a més informació) :

.

Si es defineix el transcendent de Lerch (relacionat amb la funció zeta de Lerch) per

llavors

Sèries de convergència ràpida[modifica]

Les dues fórmules següents impliquen sèries de convergència ràpida i, per tant, són adequades per al càlcul numèric:

i

Els fonaments teòrics d'aquesta sèrie es donen per Broadhurst, per a la primera fórmula,[5] i Ramanujan, per a la segona fórmula.[6] Els algorismes per a l'avaluació ràpida de la constant de Catalan van ser construïts per E. Karatsuba.[7][8]

Dígits coneguts[modifica]

El nombre de dígits coneguts de la constant de Catalan (K) ha augmentat de manera espectacular durant les últimes dècades. Això es deu tant a l'augment de rendiment de les computadores com a les millores algorítmiques.[9]

Nombre de dígits decimals coneguts de la constant de Catalan
Data Dígits decimals Càlcul realitzat per...
1832 16 Thomas Clausen
1858 19 Carl Johan Danielsson Hill
1864 14 Eugène Charles Catalan
1877 20 James W. L. Glaisher
1913 32 James W. L. Glaisher
1990 20.000 Greg J. Fee
1996 50.000 Greg J. Fee
1996 (14 d'agost) 100.000 Greg J. Fee i Simon Plouffe
1996 (29 de setembre) 300.000 Thomas Papanikolaou
1996 1.500.000 Thomas Papanikolaou
1997 3.379.957 Patrick Demichel
1998 (4 de gener) 12.500.000 Xavier Gourdon
2001 100.000.500 Xavier Gourdon i Pascal Sebah
2002 201.000.000 Xavier Gourdon i Pascal Sebah
2006 (octubre) 5.000.000.000 Shigeru Kondo i Steve Pagliarulo[10]
2008 (agost) 10.000.000.000 Shigeru Kondo i Steve Pagliarulo[11]
2009 (31 de gener) 15.510.000.000 Alexander J. Yee i Raymond Chan[12]
2009 (16 d'abril) 31.026.000.000 Alexander J. Yee i Raymond Chan[12]
2015 (7 de juny) 200.000.001.100 Robert J. Setti[13]
2016 (12 d'abril) 250.000.000.000 Ron Watkins[13]
2019 (16 de febrer) 300.000.000.000 Tizian Hanselmann[13]
2019 (29 de març) 500.000.000.000 Mike A i Ian Cutress[13]

Referències[modifica]

  1. Papanikolaou, Thomas. «Catalan's Constant to 1,500,000 Places» (en anglès). Gutenberg.org, Març 1997.
  2. Nesterenko, Yu. V. «On Catalan's constant» (en anglès). Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 292(1), Gener 2016, pàg. 153–170. DOI: 10.1134/s0081543816010107.
  3. Iaroslav, Blagouchine «Rediscovery of Malmsten's integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results» (en anglès). The Ramanujan Journal, 35, 2014, pàg. 21–110. DOI: 10.1007/s11139-013-9528-5.
  4. Agol, Ian «The minimal volume orientable hyperbolic 2-cusped 3-manifolds» (en anglès). Proceedings of the American Mathematical Society, 138(19), 2010, pàg. 3723–3732. DOI: 10.1090/S0002-9939-10-10364-5. «arxic. 0804.0043»
  5. Broadhurst, D. J.. Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of ζ(3) and ζ(5) (en anglès), 1998. «math.CA/9803067» 
  6. Berndt, B. C.. Ramanujan's Notebook, Part I (en anglès). Springer Verlag, 1985. 
  7. Karatsuba, E. A. «Fast evaluation of transcendental functions» (en anglès). Probl. Inf. Transm., 27(4), 1991, pàg. 339–360. «zbl. 0754.65021»
  8. Karatsuba, E. A.. Scientific Computing, Validated Numerics, Interval Methods (en anglès), 2001, p. 29–41. «Fast computation of some special integrals of mathematical physics» 
  9. ; Sebah, P.«Constants and Records of Computation».
  10. «Shigeru Kondo's website».
  11. Constants and Records of Computation
  12. 12,0 12,1 Large Computations
  13. 13,0 13,1 13,2 13,3 Catalan's constant records using YMP

Bibliografia[modifica]

  • Abramowitz, M.; Stegun, I. A.. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (en anglès). 9, 1972, p. 807-808. 
  • Adamchik, V. «Integral and Series Representations for Catalan's Constant» (en anglès).
  • Adamchik, V. «Thirty-Three Representations of Catalan's Constant» (en anglès).
  • Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists (en anglès). 3. Orlando, FL: Academic Press, 1985, p. 551-552. 
  • Borwein, J.; Bailey, D. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century (en anglès). Wellesley, MA: A K Peters, 2003. 
  • Borwein, J.; Bailey, D.; Girgensohn, R. Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery (en anglès). Wellesley, MA: A K Peters, 2004. 
  • Catalan, E. Sur la transformation des series, et sur quelques integrales definies (en francès). Mémoires in 4 de l'Academie royale de Belgique, 1865. .
  • Catalan, E. Recherches sur la constant , et sur les integrales euleriennes (en francès). Mémoires de l'Academie imperiale des sciences de Saint-Pétersbourg, 1883, p. Ser. 7, 31. 
  • Fee, G. J. «Computation of Catalan's Constant using Ramanujan's Formula» (en anglès). ISAAC '90. Proc. Internat. Symp. Symbolic Algebraic Comp [Reading, MA: Addison-Wesley], agost 1990.
  • Finch, S. R.. «Catalan's Constant." §1.7». A: Mathematical Constants (en anglès). Cambridge: Cambridge University Press, 2003, p. 53-59. 
  • Flajolet, P.; Vardi, I. «Zeta Function Expansions of Classical Constants» (en anglès), 1996.
  • Glaisher, J. W. L. «On a Numerical Continued Product» (en anglès). Messenger Math., 1877, pàg. 71-76.
  • Gosper, R. W.. «A Calculus of Series Rearrangements». A: Algorithms and Complexity: New Directions and Recent Results. Proc. 1976 Carnegie-Mellon Conference (en anglès). New York: Academic Press, 1976, p. 121-151. 
  • Lupas, A. «Proceedings of ROGER-2000. Formulae for Some Classical Constants» (Noia 64 mimetypes pdf.pngPDF) (en anglès), 2000.
  • Mc Laughlin, J. «An Integral for Catalan's Constant» (en anglès), 27-09-2007.
  • Nielsen, N. Der Eulersche Dilogarithms. (en alemany), 1909, p. 105, 151. 
  • Plouffe, S. «Table of Current Records for the Computation of Constants» (en anglès).
  • Rivoal, T.; Zudilin, W. «Diophantine Properties of Numbers Related to Catalan's Constant» (Noia 64 mimetypes pdf.pngPDF) (en anglès). Math. Ann., 326, 2003, pàg. 705-721.
  • Srivastava, H. M.; Miller, E. A. «A Simple Reducible Case of Double Hypergeometric Series involving Catalan's Constant and Riemann's Zeta Function» (en anglès). Int. J. Math. Educ. Sci. Technol, 21, 1990, pàg. 375-377.
  • Vardi, I. Computational Recreations in Mathematica (en anglès). Reading, MA: Addison-Wesley, 1991, p. 159. 
  • Yang, S. «Some Properties of Catalan's Constant» (en anglès). Int. J. Math. Educ. Sci. Technol, 23, 1992, pàg. 549-556.
  • Zudilin, W. «An Apéry-Like Difference Equation for Catalan's Constant» (en anglès). Electronic J. Combinatorics p. 1-10, 2003.

Vegeu també[modifica]

Enllaços externs[modifica]