Constant de Lebesgue

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En anàlisi numèrica, més concretament en interpolació polinòmica, s'anomena la constant de Lebesgue a un nombre que permet veure si una distribució de nodes és numèricament estable o no. És a dir, actua com a nombre de condició d'aquesta distribució.

Introducció[modifica | modifica el codi]

En anàlisi numèrica, moltes vegades és necessari dur a terme la interpolació de funcions mitjançant polinomis. Un tema important a tractar és el de si augmentant el nombre de nodes, aconseguirem que el polinomi interpolador convergeixi cap a la funció real. És per resoldre aquesta qüestió que és necessària la constant de Lebesgue.

Cal recordar, a més a més, la definició de polinomis de Lagrange. Sigui un conjunt de n+1 nodes, definim el cardinal j-èssim de grau n de Lagrange com:

Per últim, cal dir que en aquest article utilitzarem la següent notació:

Aquesta és la norma que ens permetrà treballar i a partir de la qual podrem conèixer la precisió amb la que hem interpolat una funció.

Definició[modifica | modifica el codi]

Primer de tot cal una definició:

Sigui la matriu d'una distribució de nodes, s'anomena funció de Lebesgue a:

On és el cardinal j-èssim de Lagrange associat a la distribució de nodes. Definim, doncs, la constant de Lebesgue de la següent manera:

Sigui la matriu d'una distribució de nodes, i sigui la seva funció de Lebesgue, definim la constant de Lebesgue com:

Utilitat[modifica | modifica el codi]

Suposem que és el polinomi interpolador de la funció en l'interval , i que és el polinomi interpolador que passa pels mateixos nodes.

Distribucions regulars de nodes[modifica | modifica el codi]

Podem conèixer les constants de Lebesgue per algunes distribucions molt concretes dels nodes d'interpolació. Per exemple, la constant per una distribució equiespaiada dels nodes és:

Hi ha altres distribucions de nodes que són més estables, com per exemple els nodes de Txebixev. La seva constant de Lebesgue és: