Criteri de la mitjana geomètrica

En matemàtiques, el criteri de la mitjana geomètrica és un criteri per provar la convergència de successions que permet la resolució de límits del tipus $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot ...\cdot a_{n}}}$.

Sigui $\{a_{n}\}$ una successió de reals positius tal que $\lim _{n\to \infty }a_{n}=A$, sent $A>0$. Llavors, $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot ...\cdot a_{n}}}=A$.

El criteri també és vàlid sent $A=+\infty$.

Exemple

Com que la successió $a_{n}={\frac {n^{2}+2}{2n^{2}}}$ convergeix a 1/2, aleshores:

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{{\frac {3}{2}}\cdot {\frac {6}{8}}\cdot ...{\frac {n^{2}+2}{2n^{2}}}}}={\frac {1}{2}}$

Corol·lari

Un corol·lari del criteri de la mitjana geomètrica és el criteri de l'arrel, el qual estableix que si una successió $\{a_{n}\}$ de reals positius tal que $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}=A>0$, llavors $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=A$.

Altres criteris de convergència

• Criteri de Stolz
• Criteri de la mitjana aritmètica

Enllaços externs

• Media geométrica y de la raíz (con demostración y ejemplos) (en castellà)
• Convergencia de sucesiones Arxivat 2018-07-12 a Wayback Machine. (en castellà)