Distribució Wishart complexa

Distribució Wishart complexa

Tipus	distribució matricial

En estadística, la distribució Wishart complexa és una versió complexa de la distribució Wishart. És la distribució de $n$ vegades la matriu de covariància hermitiana mostral de $n$ variables aleatòries gaussianes independents de mitjana zero. Té suport per $p\times p$ Matrius definides positives hermitianes.

La distribució complexa de Wishart és la densitat d'una matriu de covariància de mostra amb valors complexos. Si es fa

$S_{p\times p}=\sum _{i=1}^{n}G_{i}G_{i}^{H}$

on cadascun $G_{i}$ és una columna p -vector independent de mostres de mitjana zero gaussianes complexes aleatòries i $(.)^{H}$ és una transposició hermitiana (conjugada complexa). Si la covariància de G és $\mathbb {E} [GG^{H}]=M$ aleshores

$S\sim n{\mathcal {CW}}(M,n,p)$

on ${\mathcal {CW}}(M,n,p)$ és la distribució central complexa de Wishart amb n graus de llibertat i valor mitjà, o matriu d'escala, M.

$f_{S}(\mathbf {S} )={\frac {\left|\mathbf {S} \right|^{n-p}e^{-\operatorname {tr} (\mathbf {M} ^{-1}\mathbf {S} )}}{\left|\mathbf {M} \right|^{n}\cdot {\mathcal {C}}{\widetilde {\Gamma }}_{p}(n)}},\;\;\;n\geq p,\;\;\;\left|\mathbf {M} \right|>0$

on

${\mathcal {C}}{\widetilde {\Gamma }}_{p}^{}(n)=\pi ^{p(p-1)/2}\prod _{j=1}^{p}\Gamma (n-j+1)$

és la funció gamma multivariant complexa.

Utilitzant la regla de rotació de traça $\operatorname {tr} (ABC)=\operatorname {tr} (CAB)$ també aconseguim

$f_{S}(\mathbf {S} )={\frac {\left|\mathbf {S} \right|^{n-p}}{\left|\mathbf {M} \right|^{n}\cdot {\mathcal {C}}{\widetilde {\Gamma }}_{p}(n)}}\exp \left(-\sum _{i=1}^{p}G_{i}^{H}\mathbf {M} ^{-1}G_{i}\right)$

que és bastant proper al complex pdf multivariant de G mateix. Els elements de G tenen convencionalment simetria circular tal que $\mathbb {E} [GG^{T}]=0$.