Usuari:Brill/proves/Equació general còniques

Equacions generals

$Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dx+2Ey+F=0$

Còniques amb centre

Si l'equació de la cònica és homogènia, això és, de la forma

$Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+F=0$

aleshores, el punt $(x,y)$ és de la cònica si, i només si, ho és el punt $(-x,-y)$ i la cònica té simetria central, amb centre al punt $(0,0)$. Per tant, si la cònica té centre al punt $(\alpha ,\beta )$, ha d'haver-hi un canvi de coordenades:

${\begin{alignedat}{1}x&=x'-\alpha \\y&=y'-\beta \end{alignedat}}$

que transformi l'equació general en una equació homogènia. Ha de ser:

$A(x'-\alpha )^{2}+2B(x'-\alpha )(y'-\beta )+C(y'-\beta )^{2}+2D(x'-\alpha )+2E(y'-\beta )+F=0$

que, després d'operar dóna:

$Ax'^{2}+2Bx'y'+Cy'^{2}-2A\alpha x'-2B\beta x'-2B\alpha y'-2C\beta y'+2Dx'+2Ey'+A\alpha ^{2}+2B\alpha \beta +C\beta ^{2}-2D\alpha -2E\beta +F=0$

$Ax'^{2}+2Bx'y'+Cy'^{2}-2(A\alpha +B\beta -D)x'-2(B\alpha +C\beta -E)y'+A\alpha ^{2}+2B\alpha \beta +C\beta ^{2}-2D\alpha -2E\beta +F=0$

El punt $(\alpha ,\beta )$ és, doncs, la solució del sistema lineal

$\left\{{\begin{alignedat}{1}A\alpha +B\beta &=D\\B\alpha +C\beta &=E\end{alignedat}}\right.$

amb solució única si

$\left|{\begin{array}{cc}A&B\\B&C\end{array}}\right|=AC-B^{2}\neq 0$

La quantitat $\Delta =AC-B^{2}$ es diu el discriminant de la cònica i el seu signe en determina el caràcter. De moment, $\Delta =AC-B^{2}\neq 0$ implica que la cònica té centre i és, o bé una el·lipse, o bé una hipèrbola. Si posem $A\alpha ^{2}+2B\alpha \beta +C\beta ^{2}-2D\alpha -2E\beta +F=F'$ l'equació quedarà així: $Ax'^{2}+2Bx'y'+Cy'^{2}+F'=0$

Si $\Delta =AC-B^{2}=0$, algun dels coeficients $A$ o $C$ no és zero (si ho fossin tots dos, també ho seria $B$ i l'equació es reduiria a $2Dx+2Ey+F=0$, és a dir, a la d'una recta) i el sistema no és incompatible, sinó indeterminat, ha de ser

$\left|{\begin{array}{cc}A&D\\B&E\end{array}}\right|=AE-BD=\left|{\begin{array}{cc}B&D\\C&E\end{array}}\right|=BE-CD=0$

Si $\Delta =AC-B^{2}=0$, l'anulació d'algun dels valors obliga a que, almenys, un dels altres dos també sigui zero. Tenim:

${\begin{array}{rl}A=B=C=0&{\mbox{l'equació és }}2Dx+2Ey+F=0,{\mbox{ és a dir, una recta}}\\A=B=0,C\neq 0&{\mbox{ i l'equació és }}Cy^{2}+2Dx+2Ey+F=0\\B=C=0,A\neq 0&{\mbox{ i l'equació és }}Ax^{2}+2Dx+2Ey+F=0\end{array}}$

ha ha diverses possibilitats: