Usuari:Brill/proves/Equació general còniques

Equacions generals

$Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dx+2Ey+F=0$

Còniques amb centre

Si l'equació de la cònica és homogènia, això és, de la forma

$Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+F=0$

aleshores, el punt $(x,y)$ és de la cònica si, i només si, ho és el punt $(-x,-y)$ i la cònica té simetria central, amb centre al punt $(0,0)$. Per tant, si la cònica té centre al punt $(\alpha ,\beta )$, ha d'haver-hi un canvi de coordenades:

${\begin{alignedat}{1}x&=x'-\alpha \\y&=y'-\beta \end{alignedat}}$

que transformi l'equació general en una equació homogènia. Ha de ser:

$A(x'-\alpha )^{2}+2B(x'-\alpha )(y'-\beta )+C(y'-\beta )^{2}+2D(x'-\alpha )+2E(y'-\beta )+F=0$

que, després d'operar dóna:

$Ax'^{2}+2Bx'y'+Cy'^{2}-2(A\alpha +B\beta -D)x'-2(B\alpha +C\beta -E)y'+A\alpha ^{2}+2B\alpha \beta +C\beta ^{2}-2D\alpha -2E\beta +F=0$

El punt $(\alpha ,\beta )$ és, doncs, la solució del sistema lineal

$\left\{{\begin{alignedat}{1}A\alpha +B\beta &=D\\B\alpha +C\beta &=E\end{alignedat}}\right.$

amb solució única si

$\left|{\begin{array}{cc}A&B\\B&C\end{array}}\right|=AC-B^{2}\neq 0$

Amb discriminant no nul

La quantitat $\Delta =AC-B^{2}$ es diu el discriminant de la cònica i el seu signe en determina el caràcter. De moment, $\Delta =AC-B^{2}\neq 0$ el sistema és compatible i determinat, cosa que implica que la cònica té centre i és, o bé una el·lipse, o bé una hipèrbola. Si posem $A\alpha ^{2}+2B\alpha \beta +C\beta ^{2}-2D\alpha -2E\beta +F=F'$ l'equació quedarà així:

$Ax'^{2}+2Bx'y'+Cy'^{2}+F'=0$

Amb discriminant nul

Si $\Delta =AC-B^{2}=0$ i el sistema és incompatible, la cònica no té centre.

Si $\Delta =AC-B^{2}=0$, algun dels coeficients $A$ o $C$ no és zero (si ho fossin tots dos, també ho seria $B$ i l'equació es reduiria a $2Dx+2Ey+F=0$, és a dir, a la d'una recta) i el sistema no és incompatible, sinó indeterminat, ha de ser

$\left|{\begin{array}{cc}A&D\\B&E\end{array}}\right|=AE-BD=\left|{\begin{array}{cc}B&D\\C&E\end{array}}\right|=BE-CD=0$

Per a $A\neq 0$, $C={\dfrac {B^{2}}{A}}$ i l'equació queda

$Ax'^{2}+2Bx'y'+{\dfrac {B^{2}}{A}}y'^{2}+F'=0$

o sigui

$0=A^{2}x'^{2}+2ABx'y'+B^{2}y'^{2}+AF'=\left(Ax'+By'\right)^{2}+AF'$

i, aleshores, si $AF'\leq 0$ tenim la recta $Ax'+By'-{\sqrt {-AF'}}=0$ i, si $AF'>0$ no hi ha cònica real. Per a $C\neq 0$, $A={\dfrac {B^{2}}{C}}$ i l'equació queda

$0=B^{2}x'^{2}+2BCx'y'+C^{2}y'^{2}+AF'=\left(Bx'+Cy'\right)^{2}+CF'$

amb els mateixos resultats segons el signe de $CF'>0$.

Posició canònica

Si a l'equació de la cònica centrada a l'origen:

$Ax'^{2}+2Bx'y'+Cy'^{2}+F'=0$

és $B=0$, aleshores, si el punt $(x',y')$ és de la cònica, també ho són els punts $(x',-y')$, $(-x',y')$ i $(-x',-y')$ i els eixos de coordenades són eixos de simetria de la cònica. Ara veurem com amb una rotació de les coordenades amb angle $\varphi$,

${\begin{alignedat}{1}x'&=X\cos \varphi -Y\sin \varphi \\y'&=X\sin \varphi +Y\cos \varphi \end{alignedat}}$

podem aconseguis una equació del tipus

$A'X^{2}+C'Y^{2}+F''=0$

Ha de ser:

$A(X\cos \varphi -Y\sin \varphi )^{2}+2B(X\cos \varphi -Y\sin \varphi )(X\sin \varphi +Y\cos \varphi )+C(X\sin \varphi +Y\cos \varphi )^{2}+F'=0$

que, després d'operar, dóna:

$\left(A\cos ^{2}\varphi +2B\cos \varphi \sin \varphi +C\sin ^{2}\varphi \right)X^{2}+\left(2B\left(\cos ^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi \right)-2(A-C)\cos \varphi \sin \varphi \right)XY+\left(A\sin ^{2}\varphi -2B\cos \varphi \sin \varphi +C\cos ^{2}\varphi \right)Y^{2}+F'=0$

Aleshores cal exigir

$2B\left(\cos ^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi \right)-2(A-C)\cos \varphi \sin \varphi =0$

o sigui,

$2B\cos 2\varphi -(A-C)\sin 2\varphi =0$

és a dir,

${\dfrac {2B}{A-C}}={\dfrac {\sin 2\varphi }{\cos 2\varphi }}=\tan 2\varphi$

i com que

$\tan 2varphi=\tan(2\varphi +\pi )$

resulten dos valors possibles per a $\varphi$:

$\varphi =\left\{{\begin{alignedat}{1}&{\dfrac {\arctan {\dfrac {2B}{A-C}}}{2}}\\&{\dfrac {\arctan {\dfrac {2B}{A-C}}}{2}}+{\dfrac {\pi }{2}}\end{alignedat}}\right.$

tot posant els eixos de simetria de la cònica respectivament sobre els eixos de coordenades "$x$" i "$y$", o bé sobre els eixos "$y$" i "$x$".