Equacions generals
Còniques amb centre
Si l'equació de la cònica és homogènia, això és, de la forma
aleshores, el punt és de la cònica si, i només si, ho és el punt i la cònica té simetria central, amb centre al punt . Per tant, si la cònica té centre al punt , ha d'haver-hi un canvi de coordenades:
que transformi l'equació general en una equació homogènia. Ha de ser:
que, després d'operar dóna:
El punt és, doncs, la solució del sistema lineal
amb solució única si
Amb discriminant no nul
La quantitat es diu el discriminant de la cònica i el seu signe en determina el caràcter. De moment, el sistema és compatible i determinat, cosa que implica que la cònica té centre i és, o bé una el·lipse, o bé una hipèrbola. Si posem
l'equació quedarà així:
Amb discriminant nul
Si i el sistema és incompatible, la cònica no té centre.
Si , algun dels coeficients o no és zero (si ho fossin tots dos, també ho seria i l'equació es reduiria a , és a dir, a la d'una recta) i el sistema no és incompatible, sinó indeterminat, ha de ser
Per a , i l'equació queda
o sigui
i, aleshores, si tenim la recta i, si no hi ha cònica real. Per a , i l'equació queda
amb els mateixos resultats segons el signe de .
Posició canònica
Si a l'equació de la cònica centrada a l'origen:
és , aleshores, si el punt és de la cònica, també ho són els punts , i i els eixos de coordenades són eixos de simetria de la cònica. Ara veurem com amb una rotació de les coordenades amb angle ,
podem aconseguis una equació del tipus
Ha de ser:
que, després d'operar, dóna:
Aleshores cal exigir
o sigui,
és a dir,
i com que
resulten dos valors possibles per a :
tot posant els eixos de simetria de la cònica respectivament sobre els eixos de coordenades "" i "", o bé sobre els eixos "" i "".
Observem que si , l'equació queda
Còniques sense centre
Si la cònica
no té centre és perquè No s'ha pogut entendre (error de sintaxi): {\displaystyle \Delta = A C - B^2 = 0. Si multipliquem l'equació per <math> A }
queda