Ideal principal: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
Cap resum de modificació |
m estandarditzant codi encapçalaments i llistes |
||
| Línia 3: | Línia 3: | ||
* Es diu que ''I'' és un '''ideal principal per l'esquerra''' si existeix un element {{nowrap|''g'' ∈ ''I''}} anomenat generador, tal que tot {{nowrap|''x'' ∈ ''I''}} es pot escriure com {{nowrap|1=''x'' = ''yg''}} per algun ''y'' de l'anell ''A''. Així, tindrem que {{nowrap|1=''I'' = {''yg'' {{!}} ''y'' ∈ ''A''} }} i, de fet, s'acostuma a escriure que {{nowrap|1=''I'' = ''Ag''.}} |
* Es diu que ''I'' és un '''ideal principal per l'esquerra''' si existeix un element {{nowrap|''g'' ∈ ''I''}} anomenat generador, tal que tot {{nowrap|''x'' ∈ ''I''}} es pot escriure com {{nowrap|1=''x'' = ''yg''}} per algun ''y'' de l'anell ''A''. Així, tindrem que {{nowrap|1=''I'' = {''yg'' {{!}} ''y'' ∈ ''A''} }} i, de fet, s'acostuma a escriure que {{nowrap|1=''I'' = ''Ag''.}} |
||
* Es diu que ''I'' és un '''ideal principal per la dreta''' si existeix un element {{nowrap|''g'' ∈ ''I''}} anomenat generador, tal que tot {{nowrap|''x'' ∈ ''I''}} es pot escriure com {{nowrap|1=''x'' = ''gy''}} per algun ''y'' de l'anell ''A''. Així, tindrem que {{nowrap|1=''I'' = {''gy'' {{!}} ''y'' ∈ ''A''} }} i, de fet, s'acostuma a escriure que {{nowrap|1=''I'' = ''gA''.}} |
* Es diu que ''I'' és un '''ideal principal per la dreta''' si existeix un element {{nowrap|''g'' ∈ ''I''}} anomenat generador, tal que tot {{nowrap|''x'' ∈ ''I''}} es pot escriure com {{nowrap|1=''x'' = ''gy''}} per algun ''y'' de l'anell ''A''. Així, tindrem que {{nowrap|1=''I'' = {''gy'' {{!}} ''y'' ∈ ''A''} }} i, de fet, s'acostuma a escriure que {{nowrap|1=''I'' = ''gA''.}} |
||
*Un '''ideal principal''' (pels dos costats) és aquell que és principal per la dreta i per l'esquerra. Això es dóna sempre quan l'anell ''A'' és [[commutatiu]]. En aquest cas s'acostuma a escriure ''I'' = (''g''), tot i que la notació <''g''> també es pot trobar. |
* Un '''ideal principal''' (pels dos costats) és aquell que és principal per la dreta i per l'esquerra. Això es dóna sempre quan l'anell ''A'' és [[commutatiu]]. En aquest cas s'acostuma a escriure ''I'' = (''g''), tot i que la notació <''g''> també es pot trobar. |
||
En un [[anell principal]], tot ideal es pot escriure com a generat per un únic element. El fet que l'anell dels [[nombres enters]] compleixi aquesta propietat garanteix, per exemple, la propietat del [[màxim comú divisor]] de diversos enters. |
En un [[anell principal]], tot ideal es pot escriure com a generat per un únic element. El fet que l'anell dels [[nombres enters]] compleixi aquesta propietat garanteix, per exemple, la propietat del [[màxim comú divisor]] de diversos enters. |
||
Revisió del 17:50, 28 set 2020
Un ideal principal és un ideal generat per un únic element. Essent formals, sigui A un anell i I un ideal d'A:
- Es diu que I és un ideal principal per l'esquerra si existeix un element g ∈ I anomenat generador, tal que tot x ∈ I es pot escriure com x = yg per algun y de l'anell A. Així, tindrem que I = {yg | y ∈ A} i, de fet, s'acostuma a escriure que I = Ag.
- Es diu que I és un ideal principal per la dreta si existeix un element g ∈ I anomenat generador, tal que tot x ∈ I es pot escriure com x = gy per algun y de l'anell A. Així, tindrem que I = {gy | y ∈ A} i, de fet, s'acostuma a escriure que I = gA.
- Un ideal principal (pels dos costats) és aquell que és principal per la dreta i per l'esquerra. Això es dóna sempre quan l'anell A és commutatiu. En aquest cas s'acostuma a escriure I = (g), tot i que la notació <g> també es pot trobar.
En un anell principal, tot ideal es pot escriure com a generat per un únic element. El fet que l'anell dels nombres enters compleixi aquesta propietat garanteix, per exemple, la propietat del màxim comú divisor de diversos enters.