Polinomi mínim: diferència entre les revisions
m Robot afegeix: cs:Minimální polynom (lineární algebra) |
m Robot modifica: ru:Минимальный многочлен матрицы |
||
Línia 33: | Línia 33: | ||
[[it:Polinomio minimo]] |
[[it:Polinomio minimo]] |
||
[[pl:Wielomian minimalny]] |
[[pl:Wielomian minimalny]] |
||
[[ru:Минимальный многочлен]] |
[[ru:Минимальный многочлен матрицы]] |
||
[[sr:Минимални полином]] |
[[sr:Минимални полином]] |
||
[[uk:Мінімальний многочлен матриці]] |
[[uk:Мінімальний многочлен матриці]] |
Revisió del 03:42, 18 oct 2010
En matemàtiques, el polinomi mínim d'un element α és el polinomi mònic p de menor grau tal que p(α)=0. Les propietats del polinomi mínim dependen de l'estructura algebraica a la qual pertany α.
Teoria de cossos
En teoria de cossos, donada una extensió de cos E/F i un element α d' E que sigui algebraic sobre F, el polinomi mínim de α és el polinomi mònic p, amb coeficients en F, de menor grau tal que p(α) = 0. El polinomi mínim és irreductible, i qualsevol oltre polinomi no nul f que compleix f(α) = 0 és un múltiple de p.
Àlgebra lineal
En l'àlgebra lineal, el polinomi mínim d'una matriu n×n A sobre un cos K és el polinomi mònic p(x) sobre K de menor grau tal que p(A) = 0. Qualsevol altre polinomi q amb q(A) = 0 és un múltiple de p: el polinomi mínim és, doncs, el generador de l'ideal principal de l'anell dels polinomis de K[x] que anul·len A.
Els següents tres enunciats són equivalents:
- λ∈K és una arrel de p(x),
- λ és una arrel del polinomi característic de A,
- λ és un valor propi de A.
La multiplicitat de l'arrel λ de p(x) és la grandària del major bloc de Jordan corresponent a λ.
El polinomi mínim no és sempre el mateix que el polinomi característic. Considerem la matriu , que té com a polinomi característic . Tot i així, el polinomi mínim és , ja que , pel que són diferents per a . El fet que el polinomi mínim sempre divideix el polinomi característic és conseqüència del teorema de Cayley–Hamilton.