Polinomi mínim: diferència entre les revisions
m Robot afegeix: sr:Минимални полином |
Cap resum de modificació |
||
Línia 7: | Línia 7: | ||
==Àlgebra lineal== |
==Àlgebra lineal== |
||
En l'[[àlgebra lineal]], el '''polinomi mínim''' d'una [[matriu (matemàtiques)|matriu]] ''n''-x-''n'' ''A'' sobre un [[cos (matemàtiques)|cos]] '''F''' és el [[polinomi mònic]] ''p''(''x'') sobre '''F''' de menor grau tal que ''p''(''A'')=0. Qualsevol altre polinomi ''q'' amb ''q''(''A'') = 0 és un múltiple de ''p''. |
En l'[[àlgebra lineal]], el '''polinomi mínim''' d'una [[matriu (matemàtiques)|matriu]] ''n''-x-''n'' ''A'' sobre un [[cos (matemàtiques)|cos]] '''F''' és el [[polinomi mònic]] ''p''(''x'') sobre '''F''' de menor grau tal que ''p''(''A'')=0. Qualsevol altre polinomi ''q'' amb ''q''(''A'') = 0 és un múltiple de ''p'': el '''polinomi mínim''' és, doncs, el generador de l'[[ideal principal]] de l'anell '''F'''[''x''] dels polinomis que anulen ''A''. |
||
Els següents tres enunciats són equivalents: |
Els següents tres enunciats són equivalents: |
Revisió del 23:53, 17 març 2007
En matemàtiques, el polinomi mínim d'un element α és el polinomi mònic p de menor grau tal que p(α)=0. Les propietats del polinomi mínim dependen de l'estructura algebraica a la qual pertany α.
Teoria de cossos
En teoria de cossos, donada una extensió de cos E/F i un element α d' E que sigui algebraic sobre F, el polinomi mínim de α és el polinomi mònic p, amb coeficients en F, de menor grau tal que p(α) = 0. El polinomi mínim és irreductible, i qualsevol oltre polinomi no nul f que compleix f(α) = 0 és un múltiple de p.
Àlgebra lineal
En l'àlgebra lineal, el polinomi mínim d'una matriu n-x-n A sobre un cos F és el polinomi mònic p(x) sobre F de menor grau tal que p(A)=0. Qualsevol altre polinomi q amb q(A) = 0 és un múltiple de p: el polinomi mínim és, doncs, el generador de l'ideal principal de l'anell F[x] dels polinomis que anulen A.
Els següents tres enunciats són equivalents:
- λ∈F és una arrel de p(x),
- λ és una arrel del polinomi característic d' A,
- λ és un valor propi d' A.
La multiplicitat de l'arrel λ de p(x) és la grandària del major bloc de Jordan corresponent a λ.
El polinomi mínim no és sempre el mateix que el polinomi característic. Considerem la matriu , que té com a polinomi característic . Tot i així, el polinomi mínim és , ja que , per el que són diferents per a . El fet que el polinomi mínim sempre divideix el polinomi característic és conseqüència del teorema de Cayley–Hamilton.