Fórmula de Jacobi
En càlcul matricial, la fórmula de Jacobi expressa la derivada del determinant d'una matriu (quadrada) A en funció de la seva matriu adjunta i de la seva derivadaː[1]
- ,
on tr(X) és la traça de la matriu X.
Com a cas especial,
De forma equivalent, si dA representa el diferencial d'A, la fórmula general és
La següent relació útil connecta la traça amb el determinant de l'exponencial de la matriu associada:
La fórmula rep el seu nom del matemàtic Carl Gustav Jacob Jacobi.
Aplicacions
[modifica]Diverses formes de la fórmula són subjacents a l'algoritme Faddeev–LeVerrier per a calcular el polinomi característic, i té aplicacions explícites en el teorema de Cayley–Hamilton. Per exemple, a partir de l'equació següent:
- ,
i utilitzant , obtenim:
- ,
on adj denota el matriu adjunta.
Referències
[modifica]- ↑ Magnus & Neudecker (1999, pàg. 149–150), Part Three, Section 8.3