Identitat de Palatini

En matemàtiques, la identitat de Palatini és una expressió, derivada pel matemàtic italià A. Palatini, emprada en teoria de la relativitat i càlcul tensorial:

$\delta R_{\sigma \nu }=\nabla _{\rho }(\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho })-\nabla _{\nu }(\delta \Gamma _{\rho \sigma }^{\rho }),$

on $\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }$ denota la variació dels símbols de Christoffel i $\nabla _{\rho }$ indica la derivada covariant.

La identitat es pot derivar a partir de l'acció d'Hilbert–Einstein.

La "mateixa" identitat funciona per a la derivada de Lie ${\mathcal {L}}_{\xi }R_{\sigma \nu }$ :

${\mathcal {L}}_{\xi }R_{\sigma \nu }=\nabla _{\rho }({\mathcal {L}}_{\xi }\Gamma _{\nu \sigma }^{\rho })-\nabla _{\nu }({\mathcal {L}}_{\xi }\Gamma _{\rho \sigma }^{\rho }),$

on $\xi =\xi ^{\rho }\partial _{\rho }$ denota qualsevol camp vectorial a la varietat d'espaitemps $M$.