Llista de transformacions canòniques de coordenades

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Aquesta és una llista de transformacions canòniques de coordenades.

Bidimensionals[modifica | modifica el codi]

Siguin (x, y) les coordenades cartesianes estàndard, i r i θ los coordenades polars estàndard.

Per passar de coordenades polars a coordenades cartesianes[modifica | modifica el codi]

Per passar de coordenades cartesianes a coordenades polars[modifica | modifica el codi]

Nota: al resoldre s'obté l'angle resultant en el primer quadrant (). Per torbar , cal acudir al sistema de coordenades cartesianes original, determinar el quadrant en el que està (per exemple el punt de coordenades cartesianes (3,-3) està al quart quadrant), i llavors fer servir les següents equacions per calcular :

Si està al primer quadrant:
Si està al segon quadrant:
Si està al tercer quadrant:
Si està al quart quadrant:

Això cal fer-hi així perquè per a tots els valors de , només està definit per

Fixeu-vos que també es pot fer servir

De coordenades bipolars a coordenades cartesianes[modifica | modifica el codi]

Article principal: coordenades bipolars

De coordenades bipolars de dos centres a coordenades cartesianes[1][modifica | modifica el codi]

De coordenades bipolars de dos centres a coordenades polars[modifica | modifica el codi]

On 2c és la distància entre els pols.

De coordenades de l'equació de Cesàro a coordenades cartesianes[modifica | modifica el codi]

Article principal: equació de Cesàro

Curvatura i longitud de l'arc a partir de coordenades cartesianes[modifica | modifica el codi]

Curvatura i longitud de l'arc a partir de coordenades polars[modifica | modifica el codi]

Tridimensionals[modifica | modifica el codi]

Sigui (x, y, z) les coordenades cartesianes estàndard, i (ρ, θ, φ) les coordenades esfèriques, amb l'angle φ mesurat a partir de l'eix Z positiu. Com que θ té un recorregut de 360° cal aplicar les mateixes consideracions que en coordenades polars (de dues dimensions) sempre que es calculi a partir de la funció arctangent. φ té un recorregut de 180°, i va des de 0° fins a 180°, i no presenta cap problema quan es calcula a partir de la funció arccosinus, però cal anar amb compte si es fa servir una funció arctangent. Si, en la definició alternativa de coordenades esfèriques, es tria φ de forma que vagui des de −90° fins a +90°, en direcció oposada a la direcció prèvia, es pot calcular de manera única a partir de la funció arcsinus, però cal anar amb compte di es fa servir l'arctangent. En aquest cas totes les fórmules següents tots els arguments de φ han te tenir el sinus i el cosinus intercanviats i com a derivades també els signes menys i més s'han d'intercanviar.

Totes les fórmules que portin cap a una fracció amb zero al denominador, corresponen a casos especials de direccions al llarg dels eixos principals i a la pràctica se solucionen més fàcilment per observació.

A coordenades cartesianes[modifica | modifica el codi]

A partir de coordenades esfèriques[modifica | modifica el codi]

Article principal: coordenades esfèriques

Per tant, l'element de volum és:

=A partir de coordenades cilíndriques[modifica | modifica el codi]

Article principal: coordenades cilíndriques

Per tant l'element de volum és:

A coordenades esfèriques[modifica | modifica el codi]

A partir de coordenades cartesianes[modifica | modifica el codi]


A partir de coordenades cilíndriques[modifica | modifica el codi]

A coordenades cilíndriques[modifica | modifica el codi]

A partir de coordenades cartesianes[modifica | modifica el codi]

A partir de coordenades esfèriques[modifica | modifica el codi]

Element de longitud de l'arc, curvatura i torsió a partir de coordenades cartesianes[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Weisstein, Eric W.. "Bipolar Coordinates." Treasure Troves. 26 May 1999. Sociology and Anthropology China. 14 Feb 2007 «bbs.sachina.pku.edu.cn». [Enllaç no actiu]