Model monodomini

Electrofisiologia cardíaca: una ona espiral reentrant. Aquesta figura mostra la tensió de membrana en una simulació de monodomini 2-D utilitzant el model de potencial d'acció de Luo-Rudy 1991 amb les modificacions i el protocol suggerits. La simulació dura fins a mil·lisegons.

El model monodomini és una reducció del model bidodomini de la propagació elèctrica en el teixit del miocardi. La reducció prové de suposar que els dominis intracel·lulars i extracel·lulars tenen proporcions d'anisotropia iguals. Tot i que no és tan precís fisiològicament com el model bidomain, encara és adequat en alguns casos i té una complexitat reduïda.

Formulació

Ser $\mathbb {T}$ el límit del domini del model, el model monodomini es pot formular de la següent manera

$${\frac {\lambda }{1+\lambda }}\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right)=\chi \left(C_{m}{\frac {\partial v}{\partial t}}+I_{\text{ion}}\right)\quad \quad {\text{en }}\mathbb {T} ,$$

on $\mathbf {\Sigma } _{i}$ és el tensor de conductivitat intracel·lular, $v$ és el potencial transmembrana, $I_{\text{ion}}$ és el corrent iònic transmembrana per unitat d'àrea, $C_{m}$ és la capacitat de la membrana per unitat d'àrea, $\lambda$ és la relació de conductivitat intracel·lular a extracel·lular, i $\chi$ és la superfície de la membrana per unitat de volum (de teixit).

Derivació

El model de monodomini es pot derivar fàcilment del model de bidomini. Aquest últim es pot escriure com

$${\begin{aligned}\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right)+\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{e}\right)&=\chi \left(C_{m}{\frac {\partial v}{\partial t}}+I_{\text{ion}}\right)\\\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right)+\nabla \cdot \left(\left(\mathbf {\Sigma } _{i}+\mathbf {\Sigma } _{e}\right)\nabla v_{e}\right)&=0\end{aligned}}$$

Suposant relacions d'anisotropia iguals, és a dir $\mathbf {\Sigma } _{e}=\lambda \mathbf {\Sigma } _{i}$, la segona equació es pot escriure com

$$\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{e}\right)=-{\frac {1}{1+\lambda }}\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right).$$

Aleshores, inserint-ho a la primera equació del bidomain dóna l'equació única del model de monodomini

$${\frac {\lambda }{1+\lambda }}\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right)=\chi \left(C_{m}{\frac {\partial v}{\partial t}}+I_{\text{ion}}\right).$$