Polinomis d'Appell generalitzats

En matemàtiques, una successió polinòmica $\{p_{n}(z)\}$ té una representació generalitzada d'Appell si la funció generadora per a polinomis adopta una forma determinada:

$K(z,w)=A(w)\Psi (zg(w))=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n}$

on la funció generadora o kernel $K(z,w)$ es compon de les sèries

$A(w)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}w^{n}\quad$ amb $a_{0}\neq 0$

i

$\Psi (t)=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}t^{n}\quad$ i tot $\Psi _{n}\neq 0$

i

$g(w)=\sum _{n=1}^{\infty }g_{n}w^{n}\quad$ amb $g_{1}\neq 0.$

Tenint en compte les qüestions anteriors, no és difícil demostrar que $p_{n}(z)$ és un polinomi de grau $n$.

Els polinomis de Boas-Buck són una classe de polinomis una mica més general.

Casos especials

• Si escollim $g(w)=w$ dona la classe de polinomis de Brenke.
• Si escollim $\Psi (t)=e^{t}$dona lloc a la successió de polinomis de Sheffer, que inclouen els polinomis per diferències generals, com els polinomis de Newton.
• Si escollim la combinació de $g(w)=w$ i $\Psi (t)=e^{t}$ dona la successió d'Appell de polinomis.

Representació explícita

Els polinomis d'Appell generalitzats tenen la representació explícita

$p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}z^{k}\Psi _{k}h_{k}.$

La constant és

$h_{k}=\sum _{P}a_{j_{0}}g_{j_{1}}g_{j_{2}}\cdots g_{j_{k}}$

on aquesta suma s'estén per totes les composicions de $n$ en $k+1$ parts; és a dir, la suma s'estén sobre tots $\{j\}$ de tal manera que

$j_{0}+j_{1}+\cdots +j_{k}=n.\,$

Per als polinomis d'Appell, aquesta esdevé la fórmula

$p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {a_{n-k}z^{k}}{k!}}.$

Relació de recursió

De manera equivalent, una condició necessària i suficient per a que el kernel $K(z,w)$ es pugui escriure com $A(w)\Psi (zg(w))$ amb $g_{1}=1$ és que

${\frac {\partial K(z,w)}{\partial w}}=c(w)K(z,w)+{\frac {zb(w)}{w}}{\frac {\partial K(z,w)}{\partial z}}$

on $b(w)$ i $c(w)$ té la sèrie de potències

$b(w)={\frac {w}{g(w)}}{\frac {d}{dw}}g(w)=1+\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}w^{n}$

i

$c(w)={\frac {1}{A(w)}}{\frac {d}{dw}}A(w)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}w^{n}.$

Substituint

$K(z,w)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n}$

dona immediatament la relació de recurrència

$z^{n+1}{\frac {d}{dz}}\left[{\frac {p_{n}(z)}{z^{n}}}\right]=-\sum _{k=0}^{n-1}c_{n-k-1}p_{k}(z)-z\sum _{k=1}^{n-1}b_{n-k}{\frac {d}{dz}}p_{k}(z).$

Per al cas especial dels polinomis de Brenke, s'obté $g(w)=w$ i, per tant, tot això $b_{n}=0$, simplificant significativament la relació de recurrència.

Referències

• Boas, Ralph P.; Buck, R. Creighton. Polynomial Expansions of Analytic Functions, 1964. 
• Brenke, William C. «On generating functions of polynomial systems» (en anglès). American Mathematical Monthly, 52(6), 1945, pàg. 297–301. DOI: 10.2307/2305289.
• Huff, W. N. «The type of the polynomials generated by f(xt) φ(t)» (en anglès). Duke Mathematical Journal, 14(4), 1947, pàg. 1091–1104. DOI: 10.1215/S0012-7094-47-01483-X.

Vegeu també

• Polinomis q-diferència