Vés al contingut

Polinomis d'Appell generalitzats

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure

En matemàtiques, una successió polinòmica té una representació generalitzada d'Appell si la funció generadora per a polinomis adopta una forma determinada:

on la funció generadora o kernel es compon de les sèries

amb

i

i tot

i

amb

Tenint en compte les qüestions anteriors, no és difícil demostrar que és un polinomi de grau .

Els polinomis de Boas-Buck són una classe de polinomis una mica més general.

Casos especials

[modifica]

Representació explícita

[modifica]

Els polinomis d'Appell generalitzats tenen la representació explícita

La constant és

on aquesta suma s'estén per totes les composicions de en parts; és a dir, la suma s'estén sobre tots de tal manera que

Per als polinomis d'Appell, aquesta esdevé la fórmula

Relació de recursió

[modifica]

De manera equivalent, una condició necessària i suficient per a que el kernel es pugui escriure com amb és que

on i té la sèrie de potències

i

Substituint

dona immediatament la relació de recurrència

Per al cas especial dels polinomis de Brenke, s'obté i, per tant, tot això , simplificant significativament la relació de recurrència.

Referències

[modifica]
  • Boas, Ralph P.; Buck, R. Creighton. Polynomial Expansions of Analytic Functions, 1964. 
  • Brenke, William C. «On generating functions of polynomial systems» (en anglès). American Mathematical Monthly, 52(6), 1945, pàg. 297–301. DOI: 10.2307/2305289.
  • Huff, W. N. «The type of the polynomials generated by f(xt) φ(t)» (en anglès). Duke Mathematical Journal, 14(4), 1947, pàg. 1091–1104. DOI: 10.1215/S0012-7094-47-01483-X.

Vegeu també

[modifica]