Problema dels aniversaris
El problema dels aniversaris és un famós problema de probabilitat i estadística.[1] Cerca una solució per a determinar la probabilitat que hi ha en grup de n persones que almenys dues coincideixin en la data de naixement, s'entén dia i mes, tenint en compte que l'any té sempre 365 dies.[2]
Es parla de paradoxa, perquè hi ha una discrepància entre la intuïció, que ens fa pensar que és rar i que cal un gran nombre, quan el càlcul de probabilitat pot provar que a partir d'un grup de 23 persones, la probalitat és 50% i a partir d'un grup de 57 persones és 99%.[3][2] De fet, amb 23 persones, ens és menester de considerar 23 × 222 = 253 parells, que ja és més de la meitat del nombre de dies en un any.
És un cas particular del càlcul de probabilitat d'una coincidència.[4] Es sol atribuir la descripció d'aquest problema a Harold Davenport (1907-1969) devers 1927,[5] tot i que va ser publicat per primera vegada pel matemàtic austríac Richard von Mises (1883-1953) el 1939.[6][4]
Resolució
[modifica]Calcularem la probabilitat de la coincidència per grups de 10, 20 i 50 persones. D'aquesta manera la probabilitat de cap coincidència per a grups de n persones és un quocient: el factorial de 365 (dies) dividit entre el factorial de 365 menys el nombre n de persones multiplicat per 365 elevat al nombre de persones.
- Grup de 10 persones: p (alguna coincidència) = 11,7%
- Grup de 20 persones: p (alguna coincidència) = 41,4%
- Grup de 50 persones: p (alguna coincidència) = 97,0%
Així arribem a la conclusió que per a grups en què n és igual o més gran que 50, la probabilitat d'almenys una coincidència és pràcticament 1.
Referències
[modifica]- ↑ Mckinney, E. H. «Generalized Birthday Problem». The American Mathematical Monthly, 73, 4, 4-1966, pàg. 385. DOI: 10.2307/2315408.
- ↑ 2,0 2,1 «El problema dels aniversaris». Universitat Politècnica de Catalunya - Escola d'Enginyeria de Telecomunicació i Aeroespacial de eCastelldefels. [Consulta: 2 març 2025].
- ↑ Colwell, 2011
- ↑ 4,0 4,1 Pollanen, Marco «A Double Birthday Paradox in the Study of Coincidences» (en anglès). Mathematics, 12, 24, 10-12-2024, pàg. 3882. DOI: 10.3390/math12243882. ISSN: 2227-7390.
- ↑ Singmaster, David. Adventures in recreational mathematics. New Jersey London Singapore Beijing Shanghai Hong Kong Taipei Chennai Tokyo: World Scientific, 2022. ISBN 978-981-12-2564-2.
- ↑ Abramson, Morton; Moser, W. O. J. «More Birthday Surprises» (en anglès). The American Mathematical Monthly, 77, 8, 10-1970, pàg. 856–858. DOI: 10.1080/00029890.1970.11992600. ISSN: 0002-9890.
Enllaços externs
[modifica]- López Arroyo, Herminio. «Euroaniversaris 2012. La paradoxa dels aniversaris». Matifutbol, 2012. Un exemple pràctic del problema dels aniversaris.
- Colwell, Scott R. «Birthday Paradox Probability Estimates» (en anglès). Wolfram Demonstrations Project, 2011. [Consulta: 2 març 2025].
