Problema dels divisors petits

El problema de petits divisors és un problema clau en l'estudi la teoria KAM. Aquesta equació surt en molts esquemes KAM en el moment de linealitzar les equacions.

Definició

Sigui $\mathbb {T} ^{n}:=\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}$ el tor $n$ dimensional, $\omega \in \mathbb {R} ^{n}$ un vector i $f:\mathbb {T} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$ una funció amb $n$ períodes i mitja zero, $\int _{\mathbb {T} ^{n}}f(x)\,{\text{d}}x=0$ . El problema dels petits divisors es defineix com l'equació funcional

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}\omega _{i}=f(x),$

a on $g$ és la funció incògnita.

Solució formal

Formalment aquesta equació es pot resoldre terme a terme si expressem les funcions amb les seves sèries de Fourier: Si escrivim $f(x)=\sum _{k\in \mathbb {Z} ^{n}}{\hat {f}}_{k}e^{2\pi i\,k\cdot x}$ , $g(x)=\sum _{k\in \mathbb {Z} ^{n}}{\hat {g}}_{k}e^{2\pi i\,k\cdot x}$ llavors tenim que els coeficients de $g$ compleixen

${\hat {g}}_{k}={\dfrac {{\hat {f}}_{k}}{2\pi i\,k\cdot \omega }},\,{\text{si }}k\neq 0,\,{\hat {g}}_{0}=0$ .

La condició de mitja zero de $f$ és equivalent a ${\hat {f}}_{0}=0$ i fa que hi hagi solució formal.

Existència de solucions suaus

La demostració de l'existència de suaus és un resultat clau i amb encara forces preguntes sense resoldre. Un resultat clàssic, degut a Rüssmann,^[1] és el següent:

Teorema

Si $\omega \in \mathbb {R} ^{n}$ és diofantí amb constants $\gamma ,\tau$ i la funció $f$ és analítica en el tor complex $\mathbb {T} ^{n}\times [-\rho ,\rho ]i$ amb norma $\|f\|_{\rho }:=\max _{x\in \mathbb {T} ^{n}\times [-\rho ,\rho ]i}|f(x)|$ , llavors per a tot $\varepsilon$ que compleixi $\rho >\varepsilon >0$ és té que l'equació de petits divisors té solució analítica $g$ en el tor complex $\mathbb {T} ^{n}\times [-\rho +\varepsilon ,\rho -\varepsilon ]i$ i la norma de $g$ compleix

$\|g\|_{\rho -\varepsilon }\leq {\dfrac {c_{R}(\tau )}{\gamma \epsilon ^{\tau }}}\|f\|_{\rho }$

amb $c_{R}(\tau )={\sqrt {2^{n+1}\zeta (2,2^{\tau })(2\pi )^{-2\tau -2}\Gamma (2\tau +1)}}$ .^[2]

Referències

↑ Rüssmann, H. «On optimal estimates for the solutions of linear partial differential equations of first order with constant coefficients on the torus». In Dynamical systems, theory and applications (Rencontres, Battelle Res. Inst., Seattle, Wash., 1974). Lecture Notes in Phys., Vol. 38. Springer, Berlin, 1975, pàg. 589-624.
↑ Figueras,, J.-Ll.; Haro, A. «A modified parameterization method for invariant Lagrangian tori for partially integrable Hamiltonian systems». arxiv.org, 2023, pàg. 1-40.

Bibliografia

de la Llave, Rafael, A tutorial on KAM theory, In Smooth ergodic theory and its applications (Seattle, WA, 1999), volume 69 of Proc. Sympos. Pure Math., pages 175–292. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2001.

Vegeu també

[1] Rüssmann, H. «On optimal estimates for the solutions of linear partial differential equations of first order with constant coefficients on the torus». In Dynamical systems, theory and applications (Rencontres, Battelle Res. Inst., Seattle, Wash., 1974). Lecture Notes in Phys., Vol. 38. Springer, Berlin, 1975, pàg. 589-624.

[2] Figueras,, J.-Ll.; Haro, A. «A modified parameterization method for invariant Lagrangian tori for partially integrable Hamiltonian systems». arxiv.org, 2023, pàg. 1-40.

[1]

[2]