Pseudoespectre

En matemàtiques, el pseudoespectre d'un operador és un conjunt que conté l'espectre de l'operador i els valors que són "gairebé" valors propis. El pseudoespectre resulta particularment útil per a entendre els operadors no normals i les seves funcions pròpies.

El $\epsilon$ -pseudoespectre d'una matriu $A$ està constituït per tots els valors propis de les matrius $\epsilon$ -properes a $A$ :^[1]

\Lambda _{\epsilon }(A)=\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \exists x\in \mathbb {C} ^{n}\setminus \{0\},\exists E\in \mathbb {C} ^{n\times n}\colon (A+E)x=\lambda x,\|E\|\leq \epsilon \}.

Els mètodes numèrics per al càlcul dels valors propis d'una matriu cometen errors a causa de l'arrodoniment i altres factors. Aquests errors poden descriure's mitjançant la matriu $E$ .

De forma més general, considerant espais de Banach $X,Y$ , pot definirse el $\epsilon$ -pseudoespectre de l'operador $A:X\to Y$ (denotat per ${\text{sp}}_{\epsilon }(A)$ ) de la següent manera:

{\text{sp}}_{\epsilon }(A)=\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \|(A-\lambda I)^{-1}\|\geq 1/\epsilon \},

on, per conveni, es considera

\|(A-\lambda I)^{-1}\|=\infty

si

A-\lambda I

no és invertible.^[2]

Referències[modifica]

↑ Hogben, Leslie. Handbook of Linear Algebra, Second Edition (en anglès). CRC Press, 2013, p. 23-1. ISBN 9781466507296.
↑ Böttcher, Albrecht; Silbermann. Introduction to Large Truncated Toeplitz Matrices (en anglès). Springer New York, 1999, p. 70. ISBN 978-1-4612-1426-7.

Lloyd N. Trefethen i Mark Embree: "Spectra And Pseudospectra: The Behavior of Nonnormal Matrius And Operators", Princeton Univ. Press, ISBN 978-0691119465 (2005).
Pseudospectra Gateway / Embree i Trefethen [1]

[Hogben-1] Hogben, Leslie. Handbook of Linear Algebra, Second Edition (en anglès). CRC Press, 2013, p. 23-1. ISBN 9781466507296.

[BottSil-2] Böttcher, Albrecht; Silbermann. Introduction to Large Truncated Toeplitz Matrices (en anglès). Springer New York, 1999, p. 70. ISBN 978-1-4612-1426-7.

[1]

[2]