Tensor d'energia-moment

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
En relativitat general la curvatura del espai-temps ve donada pel tensor d'energía-impuls.

El tensor de tensió-energia, també anomenat tensor energia-impuls (o igualment tensor d'energia - moment) és una quantitat tensorial en la teoria de la relativitat que s'usa per descriure el flux d'energia i el moment lineal d'una distribució contínua de matèria en el context de la teoria de la relativitat, a més de ser molt important en les equacions d'Einstein per al camp gravitacional.

Introducció[modifica | modifica el codi]

Fixat un conjunt de coordenades o una base  \scriptstyle \{ {\mathbf{e}}^0, {\mathbf{e}}^1, {\mathbf{e}}^2, {\mathbf{e}}^3 \} en cada punt de l'espai-temps (els elements d'aquesta base seria matemàticament 1-forma), el tensor energia-impuls és un tensor de rang 2 que es pot descriure com una matriu del tipus:


\mathbf{T}(\mathbf{x}) = T_{\alpha\beta}(\mathbf{x})
{\mathbf{e}}^\alpha {\mathbf{e}}^\beta, \qquad 
T_{\alpha\beta} = \begin{bmatrix} T_{00} & T_{01} & T_{02} & T_{03} \\
T_{10} & T_{11} & T_{12} & T_{13} \\ T_{20} & T_{21} & T_{22} & T_{23} \\
T_{30} & T_{31} & T_{32} & T_{33} \end{bmatrix}


On en l'expressió anterior s'ha usat el conveni de sumació d'Einstein. Si considerem ara un observador que es mou amb quadrivelocitat \scriptstyle \mathbf{u} = u^\alpha\mathbf{e}_\alpha per aquest observador ve donada per:

e = T_{\alpha\beta}(\mathbf{x})\frac{u^\alpha u^\beta}{c^2}

I el flux d'energia a través d'una superfície (de tipus espacial i en repòs respecte a l'observador) el vector normal vingui donat per \scriptstyle \mathbf{n} ve donat per:

-T_{\alpha\beta}(\mathbf{x}) u^\alpha n^\beta

Llei de conservació[modifica | modifica el codi]

En el context de la teoria de la relativitat, la llei de conservació de l'energia i la llei de conservació de la quantitat de moviment poden expressar-se de manera molt simple en termes del tensor d'energia-impuls. Concretament ambdues lleis es poden escriure conjuntament com una equació de continuïtat del tipus:

La quantitat \nabla_\mu T^{\mu\nu}=0 sobre una llesca de tipus espai dóna el quadrivector energia-moment o quadrimoment. Aquest tensor és el corrent de Noether associat a les translacions en l'espai-temps. En relativitat general, aquesta quantitat actua com la font de la curvatura de l'espai-temps, i és la densitat de corrent associada a les transformacions de gauge (en aquest cas transformacions de coordenades) pel teorema de Noether. Ara bé, en l'espai-temps corbat, la integral de tipus espai depèn de la llesca de tipus espai, en general. No hi ha de fet manera de definir un vector global d'energia-moment en un espai-temps corbat en general. P^\mu = \frac{1}{c} \int_V T^{0\mu}\ d^3 \mathbf{x}

Tensors relacionats[modifica | modifica el codi]

La part tridimensional del tensor energia-impuls coincideix amb el tensor tensió de la mecànica dels medis continus.

Vegeu[modifica | modifica el codi]

Exemples[modifica | modifica el codi]

En teoria de la relativitat el tensor energia-impuls d'un fluid perfecte és expressable en termes del seu cuadrivelocidad, densitat màssica i pressió:


T_{\mu\nu}= \left(\rho + \frac{p}{c^2}\right) u_\mu u_\nu + p g_{\mu\nu}

Enllaç extern =[modifica | modifica el codi]