Teorema de Huygens

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca

El teorema de Huygens estableix que la longitud reduïda d'un pèndol físic no varia quan el centre d'oscil·lació O' passa a ser centre de suspensió (O), ja que tots dos punts permuten entre si els seus papers (punts conjugats). El període del pèndol serà el mateix en ambdós casos.

Explicació[modifica]

Figura 1. Pèndol físic ..

Pel que fa al període de les oscil d'un pèndol físic, la massa del pèndol pot imaginar concentrada en un punt (O ') la distància a l'eix de suspensió és λ . Aquest punt rep el nom de centre d'oscil·lació i la distància λ s'anomena longitud reduïda del pèndol, venint en fa

Si ara fem passar l'eix de suspensió pel punt O ', de manera que sigui paral·lel a l'anterior eix de suspensió, el punt O' passa a ser el punt de suspensió, mentre que el punt O passa a ser el centre d'oscil·lació. Tots dos punts han permutat entre si els seus papers, per això es diu que són punts conjugats. El mateix podem dir per als punts Q i Q '.

Aquesta propietat s'aprofita per a la construcció de l'anomenat pèndol reversible de Kater, instrument que permet mesurar el valor de l'acceleració gravitatòria amb gran precisió.

Demostració del teorema[modifica]

És convenient substituir en l'expressió [1] el valor del moment d'inèrcia I O del pèndol respecte a l'eix de suspensió ZZ 'de moment d'inèrcia I G del cos respecte a un eix paral·lel a l'anterior que passa pel centre de gravetat G del pèndol. Així, servint-nos del teorema de Steiner, i anomenant K al radi de gir del cos respecte a aquest últim eix, podem escriure:

Combinant les expressions [1] i [2], la longitud reduïda del pèndol, respecte a l'eix de suspensió, pot expressar-se en la forma

Ara, fem passar l'eix de suspensió per un altre punt, situat sobre la recta OG i que es trobi a una distància h 'del CDG, G, de manera que el període de les oscil sigui el mateix que abans, això equival a dir que la longitud reduïda del pèndol, respecte a aquest nou eix de suspensió, és la mateixa que anteriorment ( λ = λ '). Podem escriure

on hem fet ús de la següent propietat de les proporcions i, per tant,

equació que té dues solucions:

  1. Pot ser h = h '; ii, es tracta del punt Q, situat a l'altre costat del cdg ia la mateixa distància d'aquest que el punt O.
  2. En el cas que sigui h h ', dividint per ( h - h ') dos membres de la igualtat [5] i tenint en compte [3], ens quedarà:

corresponent la distància h 'a la posició del punt O', conjugat de l'O, que està situat a l'altre costat del cdg i de manera que la suma de distàncies al mateix ( h h ') és la longitud reduïda ( λ ) del pèndol.

Vegeu també[modifica]

Referències[modifica]

Bibliografia

Enllaços externs[modifica]