Teorema de virial

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En mecànica, el teorema de virial és una equació general que relaciona l'energia cinètica total mitjana \left\langle T\right\rangle d'un sistema amb la seva energia potencial mitjana \left\langle V\right\rangle , on els parèntesis representen la mitjana de la magnitud continguda entre ells. Matemàticament, el teorema de virial estableix que:

\left\langle T\right\rangle = -\frac{1}{2}\sum_{k = 1}^{N}\left\langle\mathbf{F}_{k}\cdot\mathbf{r}_{k}\right\rangle

On F k representa la força sobre la partícula k -èsima, que està ubicada en la posició r k .

Aplicacions[modifica | modifica el codi]

El teorema de virial permet calcular l'energia cinètica total mitjana encara per a sistemes molt complexos en els que és molt difícil obtenir una solució exacta, com ara els relacionats en mecànica estadística; aquesta energia cinètica total mitjana es relaciona amb la temperatura del sistema a través del teorema d'equipartició. Un exemple de les seves moltes aplicacions és l'ús del teorema de virial per calcular el límit de Chandrasekhar per a l'estabilitat de les estrelles nanes blanques. La paraula "virial" té l'origen en vis , la paraula en Llatí per "força" o "energia", i Clausius el 1870 li va donar la seva accepció tècnica.[1]

Si la força entre dues partícules qualssevol del sistema és produïda per una energia potencial V (r) = ar n que és proporcional a alguna potència n de la distància entre les partícules r , el teorema de virial adopta la forma:

 2\langle T\rangle = n\langle V\rangle

En Termodinàmica, el teorema de virial ens permet escriure un model que s'aproximi a un gas real, que es trobi en la Natura. Per això, s'usa un desenvolupament en potències d'1/v, i s'obté (en magnituds molars):

 \frac{Pv}{RT}= 1+\frac{B (T)}{v}+\frac{C (T)}{v^2}+...

On B (T), C (T), ..., són el segon coeficient de virial, tercer coeficient de virial respectivament. A aquest desenvolupament també se li coneix amb el nom de desenvolupament de Kammerlingh Onnes . Com a exemple, el gas de van der Waals es pot escriure usant el desenvolupament de Kammerlingh Onnes com (de nou, en magnituds molars):

 \frac{Pv}{RT}= 1+\frac{b-\frac{a}{RT}}{v}+ \left (\frac{b}{v}\right)^2+ \left (\frac{b}{v}\right)^3+...

Demostració[modifica | modifica el codi]

Emprant el formalisme lagrangià definim la següent magnitud:

 S = \sum _i \mathbf{p}_i \cdot \mathbf{r}_i

Sent  \mathbf{r}_i les coordenades generalitzades i

 \mathbf{p}_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{r}}_i}

els moments generalitzats.

A continuació calculem

 \langle\dot {S}\rangle = \lim_{t \to \infty}\frac{1}{t}\sum_i\int_0^t \frac{d}{dt'}(\mathbf{p}_i \cdot \mathbf{r}_i )\cdot dt'= \lim_{t \to \infty}\frac{1}{t}\sum_i \mathbf{p}_i \cdot \mathbf{r}_i

Suposant que en el sistema donat, les coordenades i moments generalitzats estan tancats, concloem que:

 \langle\dot {S}\rangle=\sum_i\langle\dot {\mathbf{p}}_i \cdot \mathbf{r}_i\rangle +\sum_i\langle {\mathbf{p}}_i \cdot \dot {\mathbf{r}}_i\rangle=0

A més, ja que:

 \sum_i \mathbf{p}_i \cdot \dot{\mathbf{r}}_i = 2T \quad; \quad \dot{\mathbf{p}}_i = \mathbf{F}_i

Obtenim finalment:


\langle T \rangle =- \frac{1}{2}\sum_i \langle \mathbf{F}_i \cdot \mathbf{r}_i \rangle

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Clausius, RJE. On a Mechanical Theorem Applicable to Heat. 40, 1.870, p. 122-127. 

Referències addicionals[modifica | modifica el codi]