Energia potencial

Energia potencial

En el cas d'un arc compost, l'energia es converteix d'energia potencial del braç de l'arquer en energia potencial emmagatzemada en l'arc corbat. Quan es deixa anar per llançar la fletxa, l'energia potencial de l'arc es transfereix a través de la goma i esdevé energia cinètica en la fletxa quan comença a volar.
Tipus	forma d'energia
Símbol	Ep o U
Unitats	joule (J)
Derivacions a partir d'altres quantitats	U = m · g · h (gravitatòria) U = ½ · k · x² (elàstica) U = C · V² / 2 (elèctrica) U = -m · B (magnètica)
Fórmula	$V=-\int {\boldsymbol {F}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {r}}$

En física, l'energia potencial és l'energia que un objecte posseeix a causa de la seva posició en un camp de forces conservatiu o que un sistema té a causa de la configuració de les seves parts. Els tipus d'energia potencial més comuns són l'energia potencial gravitatòria d'un objecte (que depèn de la seva posició vertical i de la seva massa), l'energia potencial elàstica d'una molla estesa i l'energia potencial elèctrica d'una càrrega en un camp elèctric. La unitat de mesura del Sistema Internacional d'Unitats per l'energia és el joule (J).

El terme «energia potencial» fou introduït per l'enginyer i físic escocès del segle xix William Rankine, encara que té relació amb el concepte del filòsof grec Aristòtil sobre la potencialitat. L'energia potencial s'associa amb les forces que actuen sobre un cos de tal manera que això només depèn de la posició del cos en l'espai; aquestes forces poden ser representades per un vector en qualsevol punt de l'espai formant el que es coneix com a camp vectorial de forces o camp de forces.

Si el treball d'un camp de forces que actua sobre un cos que es mou d'una posició inicial a una posició final queda determinat solament per aquestes dues posicions –i, per tant, no depèn de la trajectòria del cos– llavors existeix una funció anomenada energia potencial que pot ser avaluada a les dues posicions per determinar-ne el treball.

En les muntanyes russes es transforma espontàniament l'energia potencial inicial en energia cinètica.

Funció energia potencial

Un cos que es troba dins d'un camp conservatiu pot experimentar un variació en la seva energia potencial quan canvia de posició, per exemple espontàniament. És el cas d'una pedra que cau des d'una certa altura atreta per la força de la gravetat, o el d'un catió com el $\mathrm {Na} ^{+}$ que s'aproxima a un anió, com el $\mathrm {Cl} ^{-}$ per formar clorur de sodi $\mathrm {NaCl}$ per acció de la força de Coulomb. La variació d'energia que experimenta un cos s'anomena treball, simbolitzat $W$, i depèn del producte escalar de la força ${\vec {F}}$ que actua sobre el cos pel desplaçament $\ell$ segons la fórmula:

$$W=\int _{1}^{2}{\vec {F}}\cdot d{\vec {\ell }}$$

on $1$ i $2$ indiquen les posicions inicial i final, respectivament, i $d{\vec {\ell }}$ és un desplaçament infinitessimal.

Si el cos experimenta un desplaçament espontani, perd energia potencial perquè l'inverteix en moure's. Aquesta quantitat d'energia potencial perduda es transforma en un altra tipus d'energia, habitualment l'energia cinètica. Com que la quantitat d'energia que es transforma és una quantitat positiva (el treball $W$) i l'energia potencial disminueix ($\Delta E_{p}<0$), resulta que el treball ha de ser igual a menys la variació d'energia potencial $W=-\Delta E_{p}$. Per tant, la variació d'energia potencial es pot calcular com:

$$\Delta E_{p}=E_{p2}-E_{p1}=-\int _{1}^{2}{\vec {F}}\cdot d{\vec {\ell }}$$

Per a un desplaçament infinitessimal $d{\vec {\ell }}$, la quantitat infinitessimal d'energia potencial és:

$$dE_{p}=-{\vec {F}}\cdot d{\vec {\ell }}$$

Tipus

Una molla estirada té energia potencial que depèn de l'allargament al quadrat.

Energia potencial elàstica

L'energia potencial elàstica és l'energia continguda en una molla deformada (estirada o comprimida) respecte a la seva configuració natural. Es pot calcular mitjançant l'expressió:

$$E_{p}={\tfrac {1}{2}}kx^{2}$$on:

• $k$ és la constant elàstica, constant de Hooke, característica de la molla.
• $x$ és la separació de l'extrem de la molla respecte a la seva posició quan la molla no està deformada. S'ha d'expressar en metres.

Energia potencial gravitatòria

L'energia potencial gravitatòria és l'energia que conté una massa pel fet d'estar situada dins d'un camp gravitatori produït per una altra massa o bé per un conjunt de masses. El seu valor sempre és negatiu i val zero a l'infinit. L'expressió és:

$$E_{p}=-G{\frac {Mm}{r}}=mV_{g}$$on:

• $G$ és la constant de la gravitació.
• $M$ és la massa que crea el camp i $m$ la massa que està situada dins d'ell i de la que es calcula l'energia potencial.
• $r$ és la distància que separa els centres de les dues masses.
• $V_{g}$ és el potencial gravitatori.

Els cossos cauen espontàniament i redueixen la seva energia potencial que es transforma en energia cinètica.

A les proximitats de la superfície de la Terra es pot emprar una altra expressió per calcular l'energia potencial. Si un cos de massa $m$ cau des d'una altura $h$, negligible comparada amb el radi de la Terra, fins a la superfície d'alçada $0$ per efecte d'un camp gravitatori d'intensitat constant $g$, la variació energia potencial entre el punt inicial $1$ i el final $2$ és:

$$\Delta E_{p}=E_{p0}-E_{ph}=-\int _{h}^{0}{\vec {F}}\cdot d{\vec {\ell }}=-\int _{h}^{0}-mg\cdot d\ell$$

on la força és el pes $-mg$ i s'han pogut treure els vector per tenir la força i el desplaçament la mateixa direcció i sentits contraris. Si s'agafa l'energia potencial gravitatòria $0$ a la superfície de la Terra, això és $E_{p0}=0$ es pot integrant donant:

$$\Delta E_{p}=-E_{ph}=-[-mg(0-h)]=-mgh$$Per tant:

$$E_{ph}=mgh$$

En general, es compleix que el gradient de l'energia potencial gravitatòria és igual a menys la força gravitatòria segons la relació:

$${\vec {F}}_{g}=-\nabla E_{p}=-({\frac {\partial E_{p}}{\partial x}}{\vec {i}}+{\frac {\partial E_{p}}{\partial y}}{\vec {j}}+{\frac {\partial E_{p}}{\partial z}}{\vec {k}})=-({\frac {\partial E_{p}}{\partial x}},{\frac {\partial E_{p}}{\partial y}},{\frac {\partial E_{p}}{\partial z}})$$

Energia potencial elèctrica

Càrregues del mateix signe es repel·leixen i de signe contrari s'atreuen de manera espontània i així aconsegueixen reduir la seva energia potencial.

L'energia potencial elèctrica és l'energia que té una càrrega elèctrica situada dins d'un camp elèctric generat per una altra càrrega o per un conjunt d'elles. Pot tenir valors negatius i positius en funció dels signes de les càrregues o del potencial elèctric. L'expressió és:

$$E_{p}=K{\frac {Qq}{r}}=qV_{e}$$ on:

• $K$ és la constant elèctrica
• $Q$ és la càrrega elèctrica que crea el camp i $q$ la càrrega que està situada dins d'ell i de la que es calcula l'energia potencial.
• $r$ és la distància que separa els centres de les dues càrregues.
• $V_{e}$ és el potencial elèctric.

Es compleix que el gradient de l'energia potencial elèctrica és igual a menys la força elèctrica segons la relació:

$${\vec {F}}_{e}=-\nabla E_{p}=-({\frac {\partial E_{p}}{\partial x}}{\vec {i}}+{\frac {\partial E_{p}}{\partial y}}{\vec {j}}+{\frac {\partial E_{p}}{\partial z}}{\vec {k}})=-({\frac {\partial E_{p}}{\partial x}},{\frac {\partial E_{p}}{\partial y}},{\frac {\partial E_{p}}{\partial z}})$$

Història

El concepte modern d’energia potencial es desenvolupà a partir de l’antiga idea de moment lineal. Cap al 1330, el francès Jean Buridan (c. 1295– c. 1358), en la seva teoria de l’impetus, introduí la preclara noció que l'autèntica mesura del moviment d’un objecte no era la velocitat per si sola, sinó el producte de la velocitat i la quantitat de matèria (quantitas materiae). Calgueren més de tres segles perquè el concepte, força mal definit, de quantitat de matèria evolucionés cap al concepte només lleugerament més ben definit de “massa”. Un avenç cabdal ocorregué quan Johannes Kepler (c. 1618) introduí la massa inercial, però persistí encara una confusió considerable entre pes, quantitas materiae (significant quantitat de matèria) i massa. Després que el 1671 l'astrònom francès Jean Richer (ca. 1630-1696) descobrís inadvertidament que el pes variava segons la localització al planeta, el físic anglès Isaac Newton (1642-1727) ho explicà distingint entre el pes i la massa invariable.

La idea genial de Buridan de multiplicar la quantitat de matèria per la velocitat fou acceptada, bé que d’una manera un xic confusa, pel físic toscà Galileu (1564-1642), qui l’anomenà momento, i més tard pel francès René Descartes (1596-1650), qui se’n referí com a quantitat de moviment. Segons aquest darrer, la quantitat de moviment de l’univers perdurarà inalterat i continuarà sent preservat per sempre. Aquesta idea conduí posteriorment a la llei de conservació del moment.

Christiaan Huygens.

Quan el 1668 la Royal Society de Londres sol·licità treballs sobre cossos en impacte, fou resposta pocs mesos després pel matemàtic anglès John Wallis (1616-1703), pel científic anglès Christopher Wren (1632-1723) i pel científic neerlandès Christiaan Huygens (1629-1695). Wallis expressà en termes matemàtics el concepte de conservació del moment tal com fou exposat als Principia Philosophiae (1644) de Descartes, tenint cura ara de considerar els signes del moment abans i després de l’impacte. D’aquesta manera, pogué derivar la coneguda equació per a la velocitat final conjunta resultant d’una col·lisió inelàstica. Wren (qui provà per primer cop les seves idees experimentalment) i Huygens tractaren independentment les col·lisions elàstiques. El moment fou establert aleshores com la quantitat dinàmica preeminent.

No hauria de sorprendre, doncs, que quan Newton exposà als Principia (1687) el concepte central de la seva teoria —la mesura del moviment—, definís el moment lineal com el producte de la massa i la velocitat d’un objecte: ${\vec {p}}=m{\vec {v}}$. I aquí rau la llavor del següent gran desenvolupament. Dues bales de canó idèntiques llançades l’una cap a l’altra a la mateixa velocitat ingent tenien moments de magnitud igual i sentits de direcció oposats; el moment net de les dues era zero. Quina mena de qualitat essencial del moviment és igual a zero quan els cossos descrits s’estan llançant a través de l’espai? Aquesta idea aparentment no satisfeu Huygens, qui cercà una mesura fonamental diferent, independent de la direcció, una que només s’esvaís quan el moviment cessés, una que, per descomptat, fos conservada.

Els estudis de Huygens sobre boles rígides en col·lisió (De motu corporum, 1656) l’havien dut a concloure que hi havia alguna cosa especial en el producte de la massa per la velocitat al quadrat. Remarcablement, sumar els valors de $mv^{2}$ per a cada bola abans d’una col·lisió donava un total que era essencialment el mateix després de la col·lisió, malgrat que les velocitats havien canviat. Elevar al quadrat la velocitat eliminà qualsevol dependència del signe; $mv^{2}$ és sempre positiu i només s’esvaeix quan la velocitat s’esvaeix.

Els indicis més antics de la conceptualització de l’energia es remunten a mil·lennis. Els antics grecs sembla que tenien una noció vaga de “treball”; apareix just sota la superfície en les seves explicacions de com un pes gran podia ser aixecat exercint una força petita sobre una palanca. A principis del 1600, Galileu observant l'ús d’uns martinets (màquines per clavar pilons) reconegué que la combinació del pes del martell (ara hom escriu el pes com $mg$) i la distància a través de la qual queia $h$ determinava la seva eficàcia. I amb els experiments (Discorsi, 1638) on feu rodar una bola per un pla inclinat cap avall i per un altre cap amunt, i conclogué que la velocitat adquirida en el descens era la justa per elevar la bola de nou a l’altura des de la qual havia estat alliberada originalment.

Gottfried Leibniz.

Gottfried Leibniz (1646–1716) recuperà la idea de Huygens i el 1686 demostrà que, per a un cos en caiguda, $mv^{2}$ era proporcional al producte de Galileu de pes i altura, $mgh$. Escrivint en llatí, anomenà $mv^{2}$ vis viva ‘força viva’ per tal de distingir-la de la vis mortua, ‘força morta’ o estàtica d’equilibri. El 1695 Leibniz sostingué que els cossos en moviment tenien vis viva, mentre que els cossos en repòs, que eren aixecats o estirats, tenien potentia, ‘força potencial’, pel fet que podien produir una acció o canvi ulteriors. No tardà el matemàtic suís Jean Bernoulli (1667-1748) a proposar el principi de conservació de les forces vives, i el seu germà Daniel Bernoulli (1700-1882) l'aplicà als fluids (1738), i obtingué l'equació de Bernoulli. També deduí la igualtat entre el descens real (descensum actualem) d’un fluid i el seu ascens potencial (ascensum potentialem).

Durant uns 50 anys, una estira-i-arronsa intel·lectual esclatà entre els partidaris del moment (cartesianistes) i els partidaris de la vis viva (leibnizians), cadascuna de les parts mirava d'establir que la seva concepció era de fet l'única mesura veritable del moviment. Tot i que el mot energia havia estat emprat amb una varietat de significats durant segles, no fou fins al 1807 que Thomas Young (1773-1829), físic i metge anglès, parlà de $mv^{2}$ per primera vegada com a energia. Young conclogué que el treball que causa moviment és igual al canvi resultant en l'energia. El físic francès Gaspard Gustave de Coriolis (1792-1843) el 1829 dugué a terme un càlcul del treball realitzat en accelerar un cos i arribà al canvi en la magnitud ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}mv^{2}}$; la vis viva havia assolit la seva expressió moderna. A la fi del segle XIX, la majoria de científics evitaven el vell terme força viva i feien servir en canvi energia cinètica, un terme proposat el 1849 pel físic irlandès William Thomson, Lord Kelvin (1824-1907), per tal de distingir millor entre força i energia.

William Rankine.

En els anys de 1783 a 1803, el matemàtic francès Lazare Carnot (1753-1823) diferencià la força viva ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}mv^{2}}$ i el producte del pes per l'altura $mgh$, que anomenà força viva latent; a partir del terme "calor latent" del químic escocès Joseph Black (1728-1799). Seguint Leibniz, Carnot sostingué que un objecte estacionari, en virtut de la seva altura, posseïa una forma de vis viva (és a dir, energia). Pel que fa a les molles estirades o comprimides, observà que "emmagatzemen una certa quantitat de força viva" i podien "convertir aquesta força viva latent en força viva real."

Hermann von Helmholtz.

El físic alemany Hermann von Helmholtz el 1847 emprava la suma de vis viva i Spannkraft (quantitat de tensió o elasticitat, com la produïda, per exemple, en una molla estirada), però el 1882 adoptà el nom d'energia potencial que l'enginyer escocès William Rankine (1820-1872) havia encunyat el 1853. Fou Helmholtz qui establií que per a cossos que interaccionen, "la disminució de l'energia potencial és sempre igual a l'augment de l'energia cinètica" i viceversa (principi de conservació de l'energia).

James Clerk Maxwell, en el seu petit i brillant llibre Matèria i Moviment (1877), tractà l'energia d'una manera que moderna, tot establint definicions i relacions. Per exemple, sostingué que pel que fa a les diferents masses que interaccionen i que componen un sistema, de la mateixa manera que "l'energia cinètica depèn del moviment, l'energia potencial ha de dependre de la configuració." En un moment donat, Maxwell digué de l'energia potencial que "significa l'energia que el sistema no posseeix en tinença real, sinó que només té la capacitat d'adquirir." Aquest és un punt diferent de la visió moderna, que és que l'energia potencial és tan real com l'energia cinètica. La posició de Maxwell sembla que la paraula potencial s'aplica a la possibilitat d'adquirir energia real (energia cinètica), mentre que avui hom sosté que la paraula potencial pertany a la possibilitat de lliurar energia ja realment emmagatzemada en el sistema.