Moment angular

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Aquest giròscop queda en posició vertical mentre gira a causa del seu moment angular.
Relació entre els vectors força (F, en blau), parell (τ, en color lila), moment lineal (p, en color verd fort), i el moment angular (L, color verd clar) en un sistema de rotació


El moment angular o moment cinètic és una magnitud física important en totes les teories físiques de la mecànica, des de la mecànica clàssica a la mecànica quàntica, passant per la mecànica relativista. La seva importància en totes elles es deu al fet que està relacionada amb les simetries rotacionals dels sistemes físics. Sota certes condicions de simetria rotacional dels sistemes és una magnitud que es manté constant amb el temps a mesura que el sistema evoluciona, la qual cosa dóna lloc a una llei de conservació coneguda com a llei de conservació del moment angular .

Aquesta magnitud té respecte a les rotacions un paper anàleg al moment lineal en les translacions.

També s'anomena moment cinètic,[1] però per influència de l'anglès angular momentum avui són freqüents moment angular i altres variants com quantitat de moviment angular o ímpetu angular.

Moment angular en mecànica clàssica[modifica | modifica el codi]

En mecànica newtoniana, el moment angular d'una massa puntual és igual al producte vectorial del vector de posició \scriptstyle{\vec r} (braç), l'objecte en relació a la recta considerada com eix de rotació, per la quantitat de moviment \scriptstyle{\vec p} (també anomenat moment lineal o moment). Freqüentment se'l designa amb el símbol \scriptstyle{\vec L}:

 \vec L=\vec r \times\vec p = \vec r\times m\vec v

En absència de moments de forces externs, el moment angular d'un conjunt de partícules, d'objectes o de cossos rígids es conserva. Això és vàlid tant per partícules subatòmiques com per galàxies.

Moment angular d'una massa puntual[modifica | modifica el codi]

El moment angular d'una partícula respecte al punt \scriptstyle{O} és el producte vectorial del seu moment lineal \scriptstyle{m\vec v} pel vector \scriptstyle{\vec r}. Aquí, el moment angular és perpendicular al dibuix i està dirigit cap al lector.

En el dibuix de la dreta veiem una massa \scriptstyle{m} que es desplaça amb una velocitat instantània \scriptstyle{\vec v}. El 'moment angular' d'aquesta partícula, respecte a la recta perpendicular al pla que conté \scriptstyle{\vec r} i \scriptstyle{\vec v} és, com ja s'ha escrit:

 \vec L = \vec r \times m\vec v \,

El vector \scriptstyle{\vec L} és perpendicular al pla que conté \scriptstyle{\vec r} i \scriptstyle{\vec v}, per tant, és paral·lel a la recta considerada com a eix de rotació. En el cas del dibuix, el vector moment angular surt del dibuix i va cap a l'observador. Vegeu producte vectorial i regla de la mà dreta.

El mòdul del moment angular és:

L=mrv\sin\theta=p\,r\sin\theta=p\,\ell\,

És a dir, el mòdul és igual al moment lineal multiplicat pel seu braç(\scriptstyle{\ell} en el dibuix), el qual és la distància entre l'eix de rotació i la recta que conté la velocitat de la partícula. Per aquesta raó, alguns designen el moment angular com el "moment del moment".

Dependència temporal[modifica | modifica el codi]

Derivem el moment angular respecte del temps:

 {d\vec L\over dt}={d\ \over dt}(\vec r\times \vec p)= \left({d\vec r\over dt}\times \vec p \right)+\left( \vec r\times{d\vec p\over dt}\right) \,

El primer dels parèntesis és zero, ja que la derivada d'\scriptstyle{\vec r} respecte del temps no és altra cosa que la velocitat \scriptstyle{\vec v}. I com el vector velocitat és paral·lel al vector quantitat de moviment \scriptstyle{\vec p}, el producte vectorial dels dos és zero.

Ens queda el segon parèntesi:

{d\vec L\over dt}=\vec r\times{d\over dt}\vec p=\vec r\times{d\over dt}m\vec v=\vec r\times(m\vec a) \,

on \scriptstyle{\vec a} és l'acceleració. Però \scriptstyle{m\vec a=\vec F}, la força aplicada a la massa. I el producte vectorial de \scriptstyle{\vec r} per la força és el parell o moment de força aplicat a la massa:

{d\vec L\over dt}=\vec r\times \vec F=\vec \tau\,

La derivada temporal del moment angular és igual al moment de força aplicat a la massa puntual.

Moment angular d'un conjunt de partícules puntuals[modifica | modifica el codi]

Vídeo mostrant la compensació dels moments angulars.

El moment angular d'un conjunt de partícules és la suma dels moments angulars de cadascuna:

 \vec L=\sum \vec L_i \,

La variació temporal és:

 {d\vec L\over dt}=\sum{d\vec L_i\over dt}=\sum\vec\tau_i \,

El terme de dreta és la suma de tots els Parells produïts per totes les forces que actuen sobre les partícules. Una part d'aquestes forces pot ser d'origen extern al conjunt de partícules. Una altra part pot ser forces entre partícules. Però cada força entre partícules té la seva reacció que és igual però de direcció oposada i co-lineal. Això vol dir que els Parells produïts per cadascuna de les forces d'un parell acció-reacció són iguals i de signe contrari i que la seva suma s'anul·li. És a dir, la suma de tots els Parells d'origen intern és zero i no pot fer canviar el valor del moment angular del conjunt. Només queden els moments de força externs:

 {d\vec L\over dt}=\sum{d\vec L_i\over dt}=\vec\tau_{ext.} \,

El moment angular d'un conjunt de partícules es conserva en absència de Parells. Aquesta afirmació és vàlida per a qualsevol conjunt de partícules: des de nuclis atòmics fins a grups de galàxies.

Moment angular d'un sòlid rígid[modifica | modifica el codi]

Tenim que en un sistema inercial l'equació de moviment és:


\frac{d\vec{L}}{dt} = \frac{d}{dt}\left[\mathbf{I}(t) \vec{\omega}(t)\right]


On:

Ara bé, normalment per un sòlid rígid el tensor d'inèrcia \mathbf{I}, depèn del temps i per tant en el sistema inercial generalment no existeix un anàleg de la segona llei de Newton , i llevat que el cos giri al voltant d'un dels eixos principals d'inèrcia passa que:


 {d\vec L\over dt} \ne \mathbf{I}{d\vec{\omega} \over dt} =\mathbf{I}\vec{\alpha}


On \scriptstyle{\vec \alpha} és l'acceleració angular del cos. Per això resulta més útil plantejar les equacions de moviment en un sistema no inercial format pels eixos principals d'inèrcia del sòlid, així s'aconsegueix que \mathbf{I} = \mbox{cte.}, encara que llavors és necessari comptar amb les forces d'inèrcia:


 {d\vec L\over dt} = \mathbf{I}{d \vec{\omega} \over dt} + \vec{\omega} \times (\mathbf{I} \vec{\omega})


Que resulta ser una equació no lineal a la velocitat angular.

Conservació del moment angular clàssic[modifica | modifica el codi]

Quan la suma dels Parells externs és zero \scriptstyle{\vec \tau=0}, hem vist que:

{d\vec L\over dt}= 0\,

Això vol dir que \scriptstyle{\vec L=\mathrm{ constant}}. I com que \scriptstyle{\vec L} és un vector, és constant tant en mòdul com en direcció.

Considerem un objecte que pot canviar de forma. En una d'aquestes formes, el seu Moment d'inèrcia és \scriptstyle{I_1} i la seva velocitat angular \scriptstyle{\vec\omega_1}. Si l'objecte canvia de forma (sense intervenció d'un Parell extern) i que la nova distribució de masses fa que el seu nou Moment d'inèrcia sigui \scriptstyle{I_2}, la seva velocitat angular canviarà de tal manera que:

 \mathbf{I}_1\vec\omega_1 = \mathbf{I}_2\vec\omega_2 \,

En alguns casos, el moment d'inèrcia es pot considerar un escalar. Llavors la direcció del vector velocitat angular no canviarà. Només canviarà la velocitat de rotació.

Hi ha molts fenòmens en els quals la conservació del moment angular té molta importància. Per exemple:

  • En totes les arts i els esports en els quals es fan voltes, piruetes, etc. Per exemple, per fer una pirueta, una ballarina o una patinadora prenen impuls amb els braços i una cama estesa de manera d'augmentar els seus moments d'inèrcia al voltant de la vertical. Després, tancant els braços i la cama, disminueixen els seus moments d'inèrcia, la qual cosa augmenta la velocitat de rotació. Per acabar la pirueta, l'extensió dels braços i una cama, permet de disminuir la velocitat de rotació. El mateix per al salt de plataforma o el trampolí.
  • Per controlar l'orientació angular d'un satèl·lit o sonda espacial. Com es pot considerar que els Parells externs són zero, el moment angular i després, l'orientació del satèl·lit no canvien. Per canviar aquesta orientació, un motor elèctric fa girar un volant d'inèrcia. Per conservar el moment angular, el satèl·lit es posa a girar en el sentit oposat. Un cop a la bona orientació, n'hi ha prou amb aturar el volant d'inèrcia, la qual cosa para al satèl·lit. També s'utilitza el volant d'inèrcia per aturar les petites rotacions provocades pels petits Parells inevitables, com el produït pel vent solar.
  • Algunes estrelles es contrauen convertint-se en púlsars (estrella de neutrons). El seu diàmetre disminueix fins a uns quilòmetres, el seu moment d'inèrcia disminueix i la seva velocitat de rotació augmenta enormement. S'han detectat púlsars amb períodes rotació de tan sols uns mil·lisegons.
  • Degut a les marees, la lluna exerceix un Parell sobre la terra. Aquest disminueix el moment angular de la terra i, a causa de la conservació del moment angular, el de la lluna augmenta. En conseqüència, la lluna augmenta la seva energia allunyant-se de la terra i disminuint la seva velocitat de rotació (però augmentant el seu moment angular). La lluna s'allunya i els dies i els mesos lunars s'allarguen.

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. «enciclopèdia.cat - moment angular respecte a un punt». Enciclopèdia Catalana. Grup Enciclopèdia Catalana. [Consulta: 28 juny 2011].

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

  • Joaquim Agulló i Batlle, Mecànica de la partícula i del sòlid rígid, Publicacions OK Punt, 1995, ISBN 84-920850-0-2