Estàtica

L'estàtica és la part de la mecànica que estudia les condicions d'equilibri d'un sistema de forces que actua sobre un cos per tal que aquest es mantingui en repòs o en equilibri mecànic, és a dir, en moviment uniforme.

A l'estàtica no actuen, o no es consideren, les forces externes ni les acceleracions, però sí forces internes com el pes i la força de fregament, per exemple. Així, un objecte pesant col·locat sobre una taula, fa que aquesta rebi l'acció del pes i respongui amb una reacció (força igual i oposada), que mantindrà l'objecte a sobre (equilibri). Noteu que si el pes fos més gran del que la taula pogués aguantar, aquesta es deformaria o trencaria.

Atès que els principis de l'estàtica són els que regeixen la construcció d'estructures rígides en equilibri, són utilitzats en l'arquitectura i en l'enginyeria. Els camps d'aplicació, abasten des del càlcul d'estructures (ponts, sostres, tirants, etc.), fins a càrregues estàtiques en murs, comportes, túnels, etc., degudes o no a la contenció de fluids o altres materials, siguin aire, aigua, terra o d'altres.

Història

Balança romana.

L'estàtica ja fou estudiada pels antics grecs, especialment en el seu vessant geomètric i en destaca Arquimedes (c. 287 aC-c. 212 aC). No hi ha documents anteriors a ell on es tractin qüestions d'estàtica. Arquimedes escriví dos llibres sobre l'estàtica agrupats sota el títol de Sobre l'equilibri de les figures planes. En ells s'estableix la llei de la balança: «Dos pesos, commensurables o incommensurables, s'equilibren a distàncies inversament proporcionals a ells.» Aquesta llei li permeté determinar els centres de gravetats de triangles, paral·lelograms i trapezis. Tanmateix, Arquimedes no definí el centre de gravetat i la primera definició és la de Papos d'Alexandria (c. 290-c. 350): «El centre de gravetat és un punt del pla o del sòlid que fa que l'objecte físic penjat d'ell no es mogui amb independència de la posició inicial.»

Simon Stevin.

Leonardo da Vinci (1452-1519) afegí als treballs d'Arquimedes sobre les palanques el concepte de moment d'una força i l'aplicà a l'equilibri dels cossos rígids al seu Tractat d'estàtica i mecànica. El matemàtic i físic flamenc Simon Stevin (1548-1620) representà la força com un vector i mostrà com sumar dues forces mitjançant la construcció d'un paral·lelogram, prenent la seva diagonal com la resultant, la qual cosa es coneix com a llei del paral·lelogram, per a la suma de dues forces. Stevin també ideà el mètode del treball virtual per a l'anàlisi de l'equilibri de cossos rígids.

L'anglès Isaac Newton (1642-1727), mitjançant l'enunciat de les denominades lleis del moviment i llei de la gravitació universal, donà impuls a la mecànica clàssica i al que es coneix com a mecànica newtoniana. La primera llei de Newton estableix que tot objecte romandrà en repòs o en moviment rectilini uniforme llevat que sigui obligat a canviar el seu estat per l'acció d'una força externa. Això normalment es pren com la definició d'inèrcia. El punt clau aquí és que si no hi ha cap força neta actuant sobre un objecte (si totes les forces externes es cancel·len entre si), aleshores l'objecte es mantindrà a una velocitat constant. Si aquesta velocitat és zero, aleshores l'objecte roman en repòs. Si s'aplica una força externa, la velocitat canviarà a causa de la força.

Més tard la mecànica newtoniana seria desenvolupada pels francesos Jean le Rond D'Alembert (1717-1783) i Joseph Louis Lagrange (1736-1813), els quals aconseguiren una gran generalització mitjançant el principi dels treballs virtuals.

Condicions d'equilibri

Sobre el cos gris de la figura actuen dues forces ${\vec {F}}_{A}$ i ${\vec {F}}_{P}$ en el mateix punt (concurrents), en la mateixa direcció (vertical), en sentits oposats (per amunt i per avall) i de la mateixa intensitat (llargària dels vectors). El cos està en equilibri.

Perquè un cos rígid estigui en equilibri s'han de complir dues condicions: 1) la suma vectorial de totes les forces que actuen sobre el cos ha de ser zero; i 2) la suma de moments també ha de ser zero.

Anul·lació de forces

Quan sobre un sòlid lliure actuen només dues forces ${\vec {F}}_{1}$ i ${\vec {F}}_{2}$, aquestes només poden equilibrar-se si es compleix que són iguals en mòdul, tenen la mateixa direcció, sentit contrari i s'apliquen sobre el mateix punt del sòlid. Se'n pot deduir que quan sobre un cos actua només una força, el cos no pot estar en equilibri.

Les forces ${\vec {F}}_{1}$ i ${\vec {F}}_{2}$ no són concurrents perquè actuen sobre punts separats una distància $d_{2}$. Les forces ${\vec {F}}_{3}$ i ${\vec {F}}_{4}$ tampoc ho són, actuen sobre els punts $B$ i $A$, respectivament, separats una distància $d_{1}$.

Quan les forces que actuen en un cos extens són concurrents, hom pot reduir el cos a una partícula o a un punt material sobre el qual se situen les línies d'acció de les forces. Aquest punt és el centre de gravetat. Segons la primera llei de Newton quan en un cos la suma de les forces que hi actuen és nul·la, el cos roman en repòs o en moviment rectilini uniforme. D'acord amb aquesta llei, hom pot afirmar que per tal que hi hagi equilibri estàtic, s'ha de complir que per al nombre total de forces (dues o més) la suma vectorial ha de valer zero:

Regla del paral·lelogram. Suma gràfica de les forces ${\vec {F}}_{1}$ i ${\vec {F}}_{2}$ que donen la resultant ${\vec {F}}_{R}$, i que produeix el mateix efecte que aquelles.

$$\sum {\vec {F}}=0$$

o en mòduls, les components de les forces en cadascun dels tres eixos cartesians x, y, z també han de sumar zero:

$$\sum F_{x}=0,\quad \quad \sum F_{y}=0,\quad \quad \sum F_{z}=0$$

Esquema de forces i moments en un cos en equilibri. Gràficament, la suma de forces es realitza a partir d'un vector força afegint la resta un rere l'altre. Els moments cal sumar els rectangles que s'obtenen dels productes de la llargària de les forces per la distància perpendicular que les separa d'una recta paral·lela a la força que passi pel punt de rotació. La suma d'àrees de moments que fan girar en un sentit ha de ser igual a la suma dels que fan girar en sentit contrari.

Principi d'acció i reacció: la força de la gravetat estira el llibre de massa $m$ per avall i exerceix una força (el pes $mg$) sobre la taula (força d'acció). Aquesta, per la 3a llei de Newton, exerceix una força de reacció sobre el llibre (força normal $N$), de la mateixa intensitat, direcció i sentit oposat.

La suma o força resultant ${\vec {F}}_{R}$ de dues forces ${\vec {F}}_{1}$ i ${\vec {F}}_{2}$, no paral·leles, aplicades en el mateix punt és la diagonal del paral·lelogram els costats del qual són les forces esmentades i els segments paral·lels (regla del paral·lelogram). És degut a Simon Stevin.

Si el nombre de forces és major es poden sumar gràficament desplaçant-les paral·lelament i posant una rere l'altra de manera que cada força tengui el punt d'aplicació en l'extrem oposat de l'anterior (la punta de la fletxa). Si la darrera força dibuixada toca amb la fletxa el punt d'aplicació de la primera força es completa un polígon i la suma de forces serà zero. També es pot fer de forma analítica realitzant una suma vectorial, component a components:

$${\vec {F}}_{R}={\vec {F}}_{1}+{\vec {F}}_{2}$$

En analitzar les forces que actuen sobre un cos cal tenir en compte el principi d'acció i reacció o tercera llei de la dinàmica de Newton: Dos cossos que interactuen reaccionen l'un sobre l'altre amb dues forces d'igual intensitat (mòdul) i al llarg de la mateixa línia d'acció (direcció), però en sentits oposats al llarg de la línia i aplicades en els respectius cossos.

Moment d'una força: ${\vec {\tau }}={\vec {r}}\times {\vec {F}}$, essent el seu mòdul $\tau =rF\cos \theta$.

Anul·lació dels moments de les forces

Les palanques són un exemple d'igualació de moments de les forces aplicades.

Arquimedes descobrí aquesta condició estudiant les palanques. Quan els cossos tenen una determinada extensió cal tenir en compte que no sempre les forces que actuen sobre el cos són concurrents, no actuen damunt la mateixa recta. Aquestes forces originen moviments de rotació en el cos sobre el qual actuen. Aquest fet implica que, per tal de garantir-ne l'equilibri, a més de la condició establerta per l'equilibri de la partícula, caldrà afegir-hi que la suma dels moments de les forces (${\vec {\tau }}={\vec {r}}\times {\vec {F}}$) que hi actuen, agafant qualsevol punt de rotació, també sigui nul·la:

$$\sum {\vec {\tau }}=0$$.

Tipus d'equilibris

Equilibri estàtic

S'anomena equilibri estàtic a l'estat d'un cos sotmès a un sistema de forces que compleixen els principis de l'estàtica. Pot ser:

• estable, si en separar el cos de la posició inicial el sistema de forces a què és sotmès el torna a la posició primitiva, el centre de gravetat del cos resta per sota del punt de suspensió de la base de sustentació;
• inestable, si el cos no recupera la posició inicial, sinó que passa a una altra posició d'equilibri més estable, el centre de gravetat del cos resta per damunt;
• indiferent, si el cos resta en equilibri en qualsevol posició, el centre de gravetat i el de suspensió coincideixen; i
• equilibri metaestable que es produeix quan l'estat d'equilibri és estable per a petites accions exteriors, però esdevé inestable quan aquestes accions exteriors són prou grans.

El vector negre representa la força centrípeta, que és real; el vermell la força centrífuga, que no existeix, és una força inercial.

Equilibri dinàmic

L'equilibri dinàmic és un equilibri que és degut a la compensació entre la resultant de les forces externes que actuen sobre un cos i la força d'inèrcia corresponent. En el cas d'una partícula de massa $m$ sobre la qual actua la força ${\vec {F}}$, l'equilibri dinàmic resulta de considerar $-m{\vec {a}}$ com una força aplicada, ja que aleshores ${\textstyle {\vec {F}}+(-m{\vec {a}})=0}$. D'aquesta manera es transforma un problema de dinàmica en un problema d'estàtica.

És el cas d'un cos que segueix un moviment circular per efecte d'una força central, com ara una planeta que orbita el Sol, un electró que gira al voltant d'un protó, etc. Aquests sistemes tenen una acceleració centrípeta, malgrat que girin a velocitat constant, ja que la velocitat canvia constantment de direcció. Si hom suposa que existeix una força sobre el cos en rotació en la mateixa direcció i mòdul que la força centrípeta, però en sentit contrari, hom pot dir que el sistema està en equilibri. Aquesta força inercial s'anomena força centrífuga. És útil quan l'observador està situat sobre el cos que gira, com que té un sistema de referència no inercial, les lleis de Newton no es poden aplicar. Transformant el problema amb un d'estàtica, llavors sí que es poden aplicar.

Vegeu també

Viccionari

• Dinàmica
• Equilibri mecànic
• Hidrostàtica
• Lleis de Newton
• Mecànica del sòlid deformable
• Mecànica dels sòlids