Potencial elèctric

Potencial elèctric
Unitats	volt i kilogram square metre per cubic second ampere (en)
Fórmula

El potencial elèctric és una funció escalar que, en cada punt de l'espai on existeix un camp elèctric conservatiu, és igual al treball necessari perquè un agent extern mogui una càrrega elèctrica positiva de valor unitari des de l'origen de potencial, que és l'infinit per a distribucions finites de càrrega, fins al punt en qüestió, en contra de l'acció del camp elèctric. La seva unitat és el volt (símbol V), 1 volt = 1 J/C. Si $V$ és el potencial elèctric, $W$ el treball extern i $Q$ la càrrega de +1 C, es compleix que:^[1]

$V={\frac {W}{Q}}$

És equivalent a dir que és igual a l'energia potencial elèctrica $E_{p}$ de qualsevol partícula carregada en qualsevol lloc (mesurada en joules) dividit per la càrrega d'aquesta partícula (mesurada en coulombs). En dividir la càrrega de la partícula s'obté un quocient que és una propietat del mateix camp elèctric. En resum, un potencial elèctric és l'energia potencial elèctrica per unitat de càrrega:^[2]

$V={\frac {E_{p}}{Q}}$

També hom pot definir el potencial com la funció escalar el gradient del qual, canviat de signe, és igual al camp elèctric ${\vec {E}}$ :

${\vec {E}}=-\nabla V=-{\biggl (}{\frac {\partial V}{\partial x}}{\vec {i}}+{\frac {\partial V}{\partial y}}{\vec {j}}+{\frac {\partial V}{\partial z}}{\vec {k}}{\biggr )}$

Introducció

La mecànica clàssica explora conceptes com la força, l'energia i el potencial.^[3] La força i l'energia potencial estan directament relacionades. Una força neta que actua sobre qualsevol objecte farà que s'acceleri. A mesura que un objecte es mou en la direcció d'una força que actua sobre ell, la seva energia potencial disminueix. Per exemple, l'energia potencial gravitatòria d'una bala de canó al cim d'un turó és més gran que a la base del turó. A mesura que roda cap avall, la seva energia potencial disminueix i es tradueix en moviment: energia cinètica.

És possible definir el potencial de determinats camps de força de manera que l'energia potencial d'un objecte en aquest camp depengui només de la posició de l'objecte respecte al camp. Dos d'aquests camps de força són un camp gravitatori i un camp elèctric (en absència de camps magnètics variables en el temps). Aquests camps afecten els objectes a causa de les propietats intrínseques (per exemple, massa o càrrega) i les posicions dels objectes.

Un objecte pot tenir una propietat coneguda com a càrrega elèctrica. Com que un camp elèctric exerceix força sobre un objecte carregat, si l'objecte té una càrrega positiva, la força estarà en la direcció del vector del camp elèctric a la ubicació de la càrrega; si la càrrega és negativa, la força serà en sentit contrari.

La magnitud de la força ${\textstyle |{\vec {F}}|}$ és definida per la quantitat de càrrega ${\textstyle Q}$ multiplicada per la magnitud del vector de camp elèctric ${\textstyle |{\vec {E}}|}$ ,

$|{\vec {F}}|=Q|{\vec {E}}|$

Representació gràfica

L'espai on hi ha un camp elèctric la funció potencial elèctric es representa mitjançant línies equipotencials en dues dimensions i superfícies equipotencials en tres. Aquestes línies connecten punts que tenen el mateix valor de potencial elèctric i es representen amb una diferència de potencials constant.^[4]

Els potencials propers a les càrregues positives són positius i els propers a càrregues negatives són negatius. Aquest fet es visualitza de manera entenedora amb gràfics 3D. Les càrregues negatives són semblants a pous, a mesura que hom si aproxima els valors dels potencials elèctrics es fan cada vegada més negatius. Per contra, les positives són semblants a elevacions del terreny, a turons, en aproximar-nos a una d'elles els potencials són cada vegada més elevats i amb valors positius.^[5]

Els vectors intensitat del camp elèctric ${\vec {E}}$ són perpendiculars a cada punt a les línies equipotencials i apunten cap on decreixen els potencials, cap a potencials negatius, o més negatius. Per tant, donades les línies de camp elèctric, les línies equipotencials es poden dibuixar simplement fent-les perpendiculars a les línies de camp elèctric. Per contra, donades les línies equipotencials les línies de camp elèctric es poden dibuixar fent-les perpendiculars a les equipotencials.^[5]

No cal fer cap treball per moure una càrrega al llarg d'una superfície equipotencial, ja que $\Delta V=0$ . Per tant, el treball és nul. Espontàniament, les càrregues positives es mouen cap a potencials menors, cauen cap els «pous»; mentre que les càrregues negatives ho fan cap a potencials majors, cap els «turons». En ambdós casos es produeix una transformació d'energia potencial en energia cinètica. Les càrregues perden energia potencial i gusnyen la mateixa quantitat en energia cinètica. Aquesta quantitat d'energia que canvia de forma és el treball realitzat pel camp elèctric.^[5]

Línies equipotencials en el pla que conté dues càrregues de diferent signe separades una certa distància, un dipol elèctric.
Gràfic en tres dimensions de les superfícies equipotencials de dues càrregues de diferent signe.
Línies de camp sempre són perpendiculars a les línies equipotencials i apunten cap on decreixen els potencials, cap a valors negatius.

Història

El concepte modern de potencial és la fusió de, com a mínim, cinc tradicions històriques ben diferenciades. Malgrat l'aparent unitat del concepte rebut, cadascuna d'aquestes tradicions encara exerceix un paper semiautònom en la comprensió actual del potencial. Una de les primeres hipòtesis relatives a la naturalesa del potencial fou la del científic anglès William Watson (1719-1787), qui proposà la visió a finals de la dècada de 1740 que el fluid elèctric es trobava en un estat de compressió o pressió. El també científic anglès Henry Cavendish (1731-1810) desenvolupà aquesta visió posteriorment a la dècada de 1780.^[6]^[7]

En una publicació de 1779, l'italià Alessandro Volta (1745-1827) introduí el seu concepte de «la tensió elèctrica» d'un conductor carregat. Mostrà com aquesta «tensió» podia ser mesurada i la transformà en un concepte operatiu reeixit. Fou immensament influent. Fins i tot originà el concepte de tensió de Faraday al llarg de les línies de força, i influí en la teoria d'esforços en l'èter de Maxwell. El concepte de tensió de Volta sobreviu en l'enginyeria elèctrica, on encara s'utilitzen expressions com ara «línies d'alta tensió». Volta també introduí el concepte de «força electromotriu» com l'impulsor primordial d'un corrent elèctric en un circuit tancat, i la mesurà en termes de la seva tensió elèctrica. L'alemany Georg Simon Ohm (1789-1854) atribuí el 1827 el concepte de «força electroscòpia», o tensió, als resistors de circuit, un concepte actualment conegut com el voltatge a través del resistor. Cal assenyalar que aquests conceptes primerencs es basaren en gran manera en analogies mecàniques. A més, encara que es considerà la “pressió” o “tensió” elèctrica com una propietat del fluid elèctric en un conductor, no es pensà que fos una propietat exercida a través de l'espai veí. Aquesta extensió del concepte es va afegir més tard al segle xix.^[6]^[7]

Un concepte molt diferent, el de «potencial» elèctric, fou introduït a principis del segle xix no per experimentalistes, com Watson i Volta, sinó pels físics matemàtics Poisson i Green. El matemàtic francès Siméon Denis Poisson (1781-1840), el 1811, fortament inspirat per Laplace, introduí una funció matemàtica a l'electroestàtica el gradient de la qual era numèricament igual a la intensitat elèctrica local, o força per unitat de càrrega. Aquesta fou una funció molt convenient perquè era no direccional i més fàcil de gestionar matemàticament que la funció d'intensitat elèctrica. És important destacar que la funció potencial es va introduir a l'electroestàtica només com un artefacte matemàtic, i no com un estat físic. George Green (1793-1841) de Nottingham, el 1828, inventà el terme «potencial» per a la funció potencial de Poisson i en desenvolupà les propietats matemàtiques molt més. La funció potencial tenia un valor fix a la superfície i a l'interior d'un conductor carregat electroestàticament, però també tenia valors a l'espai pertot arreu a la rodalia d'aquest conductor. Joseph Louis Lagrange (1736-1813) i Carl F. Gauss (1777-1855) introduïren i desenvoluparen la funció d'energia potencial mútua, que està relacionada amb la funció potencial. Aquesta funció també es va considerar al principi només un constructe matemàtic. El següent gran pas en l'evolució del concepte de potencial el va fer Gustav Kirchhoff (1824-87), qui efectuà una síntesi el 1849 que mostrà que la tensió de Volta i la funció potencial de Poisson eren numèricament idèntiques en un conductor i que s'havien de reduir, per tant, a un sol concepte. També associà el nou concepte amb l'energia elèctrica.^[6]^[7]

Mesura

La mesura del potencial elèctric es fa per mitjà d'un voltímetre o d'un oscil·loscopi posats en paral·lel respecte del circuit o objecte bipolar a mesurar.

El potencial es defineix sempre respecte a un altre que s'agafa com una constant i al qual se li assigna un valor nul. En electricitat és habitual que es prengui com a referència per als potencials (el potencial que serveix de zero) el potencial de la terra, però això no és obligatori. Sigui quina sigui l'elecció, el punt de referència del circuit es fixarà en 0 volt i s'anomenarà punt fred. Segons els dispositius pot estar connectat a la massa (carcassa metàl·lica del dispositiu), a terra o a totes dues.

Fórmules

Càlcul de la intensitat del camp elèctric a partir del potencial

La intensitat del camp elèctric que deriva d'un potencial es pot calcular a partir del gradient del potencial aplicant l'operador vectorial nabla $\nabla$ i canviant el signe:

{\vec {E}}=-{\nabla }V=-{\frac {\partial V}{\partial x}}{\vec {i}}-{\frac {\partial V}{\partial y}}{\vec {j}}-{\frac {\partial V}{\partial z}}{\vec {k}}=-E_{x}{\vec {i}}-E_{y}{\vec {j}}-E_{z}{\vec {k}}

Càlcul del potencial a partir de la intensitat de camp

De manera inversa, el coneixement de l'expressió de la intensitat del camp elèctric en un espai permet el càlcul del potencial mitjançant integració del producte escalar del camp elèctric ${\vec {E}}$ pel desplaçament $d{\vec {\ell }}$ :

$V=-\int _{l}{\vec {E}}\bullet d{\vec {\ell }}$

Potencial creat per una càrrega elèctrica

El potencial elèctric creat per una càrrega elèctrica puntual a l'espai que l'envolta és:

$V(r)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{o}}}{\frac {Q}{\left|{\vec {r}}-{\vec {r}}_{Q}\right|}}$

on $Q$ és la càrrega puntual, ${\vec {r}}$ és el vector de posició del punt on es calcula el camp a partir d'un determinat sistema de referència, i ${\vec {r}}_{Q}$ és el vector de posició de la càrrega puntual. Si hom situa l'origen de coordenades en el centre de la càrrega serà ${\vec {r}}_{Q}=0$ i l'expressió anterior se simplifica a, on $r$ és el mòdul del vector ${\vec {r}}$ :^[5]

$V(r)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{o}}}{\frac {Q}{\left|{\vec {r}}\right|}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{o}}}{\frac {Q}{r}}$

Aquest potencial té simetria radial i descreix en allunyar-se de la càrrega, però sempre té valors positius per a una càrrega positiva. A l'infinit tendrà valor zero. Si la càrrega és negativa també decreix en valor absolut, car el potencial d'una càrrega negativa és negatiu. A l'infinit valdrà zero.^[5]

Potencial creat per un sistema discret de càrregues

Per a determinar el potencial en un punt de l'espai a causa de la contribució de diverses càrregues $Q_{i}$ s'ha de fer una suma escalar dels potencials creats per cadascuna de les càrregues de forma independent, seguint el principi de superposició.^[5]

$V(r)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\sum _{i}{\frac {Q_{i}}{r_{i}}}$

Essent $r_{i}$ la distància que separa cada càrrega del punt on es calcula el potencial.

Potencial creat per una distribució contínua de càrrega

En cas d'haver-hi un nombre elevadíssim de càrregues s'empra la densitat de càrrega per calcular el potencial, essent la densitat de càrrega ${\textstyle \rho (r)={dQ}/{d\tau }}$ . I el potencial es calcula amb la integral a tot el volum $\tau$ :

$V(r)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\tau }{\frac {dQ}{r}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\tau }{\frac {\rho d\tau }{r}}$

Referències

↑ Masoliver Garcia, Jaime. Fonaments de Fisica. Edicions Universitat Barcelona, 2010-03-12, p. 124-125. ISBN 978-84-475-3440-1.
↑ Goldstein, Herbert. Classical Mechanics (en anglès). United States: Addison-Wesley, juny 1959, p. 383. ISBN 0201025108.
↑ Young, Hugh A. Sears and Zemansky's University Physics with Modern Physics (en anglès). 13a ed.. Boston: Addison-Wesley, 2012, p. 754. ISBN 9780321501219.
↑ «Equipotential Lines». A: How to Succeed in Physics Guide (en anglès). Veritas Learning.
1 2 3 4 5 6 Tipler, Paul Allen; Mosca, Gene. Física per a la ciència i la tecnologia. Vol. 1: Mecànica. Oscil·lacions i ones. Termodinàmica. Reverte, 2020-01-10. ISBN 978-84-291-9370-1.
1 2 3 Roche, John. «Applying the history of electricity in the classroom: a reconstruction of the concept of ‘Potential’». A: Shortland, Michael; Warwick, Andrew (eds.). Teaching the History of Science. Oxford: Blackwell, 1989, p. 168-184. ISBN 978-0631169772 [Consulta: 28 octubre 2025].
1 2 3 Shortland, Michael. Warwick, Andrew (ed.). Teaching the history of science. Chalfont St. Giles: Oxford, UK; New York, NY, USA: British Society for the History of Science; B. Blackwell, 1989. ISBN 978-0-631-16977-2.

Vegeu també

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Potencial elèctric

[1] Masoliver Garcia, Jaime. Fonaments de Fisica. Edicions Universitat Barcelona, 2010-03-12, p. 124-125. ISBN 978-84-475-3440-1.

[2] Goldstein, Herbert. Classical Mechanics (en anglès). United States: Addison-Wesley, juny 1959, p. 383. ISBN 0201025108.

[3] Young, Hugh A. Sears and Zemansky's University Physics with Modern Physics (en anglès). 13a ed.. Boston: Addison-Wesley, 2012, p. 754. ISBN 9780321501219.

[4] «Equipotential Lines». A: How to Succeed in Physics Guide (en anglès). Veritas Learning.

[:12-5] 1 2 3 4 5 6 Tipler, Paul Allen; Mosca, Gene. Física per a la ciència i la tecnologia. Vol. 1: Mecànica. Oscil·lacions i ones. Termodinàmica. Reverte, 2020-01-10. ISBN 978-84-291-9370-1.

[:0-6] 1 2 3 Roche, John. «Applying the history of electricity in the classroom: a reconstruction of the concept of ‘Potential’». A: Shortland, Michael; Warwick, Andrew (eds.). Teaching the History of Science. Oxford: Blackwell, 1989, p. 168-184. ISBN 978-0631169772 [Consulta: 28 octubre 2025].

[:1-7] 1 2 3 Shortland, Michael. Warwick, Andrew (ed.). Teaching the history of science. Chalfont St. Giles: Oxford, UK; New York, NY, USA: British Society for the History of Science; B. Blackwell, 1989. ISBN 978-0-631-16977-2.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

Registres d'autoritat	GND (1) LCCN (1)
Bases d'informació	Britannica (1) SNL