Inductància

Inductància

Unitats	henry i kilogram square metre per square second square ampere (en)
Fórmula	$L={\frac {\Psi }{I}}$

Inductància, és la tendència d'un conductor elèctric a oposar-se a un canvi en el corrent elèctric que hi circula. El corrent elèctric produeix un camp magnètic al voltant del conductor. La intensitat del camp magnètic depèn de la magnitud del corrent elèctric i segueix qualsevol canvi en la magnitud del corrent. A partir de la llei d'inducció de Faraday, qualsevol canvi en el camp magnètic a través d'un circuit indueix una força electromotriu (EMF) (tensió) en els conductors, un procés conegut com a inducció electromagnètica. Aquesta tensió induïda creada pel canvi de corrent té l'efecte d'oposar-se al canvi de corrent. Això ho indica la llei de Lenz i el voltatge s'anomena EMF de tornada.

En el SI, la unitat de la inductància és el «henry» (H), anomenada així en honor al científic estatunidenc Joseph Henry. 1 H = 1 Wb/A, on el flux s'expressa en weber i la intensitat en amperes.

El terme «inductància» va ser emprat per primera vegada per Oliver Heaviside al febrer de 1886, mentre que el símbol $L$ s'utilitza en honor al físic Heinrich Lenz.

Definició

La inductància es defineix com la relació entre la tensió induïda i la velocitat de canvi del corrent que la provoca. És una constant de proporcionalitat que depèn de la geometria dels conductors del circuit (per exemple, l'àrea de la secció transversal i la longitud) i la permeabilitat magnètica del conductor i dels materials propers. Un component electrònic dissenyat per afegir inductància a un circuit s'anomena inductor. Normalment consisteix en una bobina o hèlix de filferro.

El terme inductància va ser encunyat per Oliver Heaviside el maig de 1884, com una manera convenient de referir-se al "coeficient d'autoinducció" És habitual utilitzar el símbol L L per a la inductància, en honor al físic Heinrich Lenz. En el sistema SI, la unitat d'inductància és l'henry (H), que és la quantitat d'inductància que provoca una tensió d'un volt, quan el corrent canvia a una velocitat d'un ampere per segon. La unitat rep el nom de Joseph Henry, que va descobrir la inductància independentment de Faraday.

La inductància és una mesura del flux magnètic $\Phi$ al llarg d'un circuit elèctric creat per un corrent elèctric que flueix a través d'un circuit elèctric i, en conseqüència, crea un camp magnètic; en el Sistema Internacional es mesura en henrys (símbol $H$), en honor de Joseph Henry. Es pot definir com el factor de proporcionalitat entre el flux produït i la intensitat del corrent que el genera:

$L={\frac {\Phi }{i}}$

on $L$ és la inductància, $i$ és la intensitat de corrent (en amperes) i $\Phi$ és el flux de camp magnètic (en webers). S'utilitza el símbol $L$ per a la inductància en honor del físic Heinrich Lenz. El mateix terme "inductància" fou establert per Oliver Heaviside el febrer del 1886. La fórmula anterior utilitzant les unitats del SI, seria:

$1H={\frac {1Wb}{1A}}$

En realitat, la quantitat que acabem de definir és l'anomenada autoinductància, ja que el camp magnètic és creat només pel conductor que transporta el corrent.

D'acord amb la llei d'Ampère i la llei de Lenz, el flux de camp magnètic crea una força electromotriu induïda ($v_{ind}$) al conductor que s'oposa a qualsevol variació del corrent original, de manera que

$v_{ind}=-{\frac {d\Phi }{dt}}$

i substituint el flux per $L\times i$, segons la definició d'inductància que hem donat:

$v_{ind}=-L{\frac {dI}{dt}}$

de manera que podem considerar la inductància com el factor de proporcionalitat entre la força electromotriu induïda i la variació temporal de la intensitat.

Propietats de la inductància

L'equació que relaciona la inductància amb el flux magnètic pot ser modificada d'aquesta manera:

$\Phi =Li\,$

Prenent la derivada respecte del temps als dos costats de l'equació tindrem:

${\frac {d\Phi }{dt}}=L{\frac {di}{dt}}+i{\frac {dL}{dt}}\,$

En moltes situacions la inductància és constant al llarg del temps, per tant

${\frac {d\Phi }{dt}}=L{\frac {di}{dt}}$

Segons la llei de Faraday de la inducció tenim:

${\frac {d\Phi }{dt}}=-{\mathcal {E}}=v$

on ${\mathcal {E}}$ és la força electromotriu (fem) i $v$ és el voltatge induït. Noteu que la fem és oposada al voltatge induït, així:

${\frac {di}{dt}}={\frac {v}{L}}$

o

$i(t)={\frac {1}{L}}\int _{0}^{t}v(\tau )d\tau +i(0)$

Aquestes equacions juntes determinen que per a un voltatge estable induït v, en corrent canvia de manera lineal, segons una raó proporcional al voltatge aplicat, però inversament proporcional a la inductància. Inversament, si el corrent que passa a través de l'inductor canvia de manera constant, el voltatge induït serà constant.

L'efecte de la inductància pot ser estes utilitzant una simple espira de fil conductor com a exemple. Si sobtadament apliquem un voltatge als extrems de l'espira, el corrent canviarà de zero a un valor diferent de zero. Però un corrent diferent de zero induirà un camp magnètic segons la llei d'Ampère, i aquest canvi del camp magnètic induirà una fem que serà oposada a la direcció del canvi en el corrent, la magnitud d'aquesta fem serà proporcional al canvi en el corrent i a la inductància. Quan aquestes forces oposades són en equilibri, el resultat serà un corrent que s'incrementarà linealment amb el temps i on la quantitat de canvi serà determinat pel voltatge aplicat i per la inductància.

Multiplicant l'equació anterior per $di/dt$, amb $Li$ tindrem

$Li{\frac {di}{dt}}={\frac {d}{dt}}{\frac {L}{2}}i^{2}=iv$

Com iv és l'energia transferida al sistema a cada moment, tindrem que $\left(L/2\right)i^{2}$ és l'energia del camp magnètic generada pel corrent.

Anàlisi de circuits fasors i impedància

Utilitzant fasors, la impedància equivalent d'una inductància vindrà donada per:

$Z_{L}=V/I=jL\omega \,$

on

$X_{L}=L\omega \,$ és la reactància inductiva,

$\omega =2\pi f\,$ és la freqüència angular,

L és la inductància,

f és la freqüència, i

j és la unitat imaginària.

Força electromotriu induïda

El flux $\Phi _{i}\ \!$ al través d'una part i-èsima d'un circuit vindrà donat per:

$\Phi _{i}=\sum _{j}M_{ij}I_{j}=L_{i}I_{i}+\sum _{j\neq i}M_{ij}I_{j}\,$

per tant la força electromotriu induïda, ${\mathcal {E}}$, a una part específica, i, a cada circuit donat vindrà determinada directament per:

${\mathcal {E}}=-{\frac {d\Phi _{i}}{dt}}=-{\frac {d}{dt}}\left(L_{i}I_{i}+\sum _{j\neq i}M_{ij}I_{j}\right)=-\left({\frac {dL_{i}}{dt}}I_{i}+{\frac {dI_{i}}{dt}}L_{i}\right)-\sum _{j\neq i}\left({\frac {dM_{ij}}{dt}}I_{j}+{\frac {dI_{j}}{dt}}M_{ij}\right).$

Història

Article principal: Història de la teoria electromagnètica

La història de la inducció electromagnètica, una faceta de l'electromagnetisme, va començar amb les observacions dels antics: càrrega elèctrica o electricitat estàtica (fregar seda sobre ambre), corrent elèctric (llampec) i atracció magnètica (pedra imant). La comprensió de la unitat d'aquestes forces de la naturalesa i la teoria científica de l'electromagnetisme van començar a finals del segle xviii

La inducció electromagnètica va ser descrita per primera vegada per Michael Faraday en 1831. En l'experiment de Faraday, va embolicar dos cables al voltant dels costats oposats d'un anell de ferro. Ell esperava que, quan el corrent comencés a fluir en un cable, una espècie d'ona viatjaria a través de l'anell i causaria algun efecte elèctric en el costat oposat. Fent servir un galvanòmetre, va observar un flux de corrent transitori en la segona bobina de filferro cada vegada que es connectava o desconnectava una bateria de la primera bobina. Aquest corrent va ser induït pel canvi en el flux magnètic que va ocórrer quan la bateria va ser connectada i desconnectada. Faraday va trobar diverses altres manifestacions de la inducció electromagnètica. Per exemple, va veure corrents transitoris quan va lliscar ràpidament una barra magnètica dins i fora d'una bobina de cables, i va generar un corrent constant (CC) en girar un disc de coure prop de la barra magnètica amb un cable elèctric lliscant ("disc de Faraday").

Autoinducció de formes de filferro prim

Vegeu també: Inductor

La següent taula enumera les fórmules per a l'autoinducció de diverses formes simples fetes de conductors cilíndrics prims (filferros). En general, aquests només són precisos si el radi del cable $a$ és molt més petit que les dimensions de la forma, i si no hi ha materials ferromagnètics a prop (sense nucli magnètic).

Autoinducció de formes de filferro prim

Tipus	Inductància	Comentari
Solenoide d'una sola capa	La coneguda fórmula d'aproximació de Wheeler per a la bobina de nucli d'aire del model de fulla actual: ${\mathcal {L}}={\frac {N^{2}D^{2}}{18D+40\ell }}$ (anglès)      ${\mathcal {L}}={\frac {N^{2}D^{2}}{45D+100\ell }}$ (cgs) Aquesta fórmula dona un error de no més d'1% quan $\ell >0.4\,D~.$	${\mathcal {L}}$ inductància en μH (10−6 henries) $N$ número de voltes $D$ diàmetre en (polzades) (cm) $\ell$ longitud en (polzades) (cm)
Cable coaxial(HF)	${\mathcal {L}}={\frac {\mu _{0}}{2\pi }}\ell \ln \left({\frac {b}{a}}\right)$	$b$: Radi interior de cond. exterior $a$: Radi del conductor interior $\ell$: Longitud $\mu _{0}$: consulteu la nota al peu de la taula.
Bucle circular	${\mathcal {L}}=\mu _{0}\ r\ \left[\ln \left({\frac {8r}{a}}\right)-2+{\tfrac {1}{4}}Y+{\mathcal {O}}\left({\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)\right]$	$r$: Radi de bucle $a$: Radi del filferro $\mu _{0},I$: vegeu les notes al peu de la taula.
Rectangle de filferro rodó	${\begin{aligned}{\mathcal {L}}={\frac {\mu _{0}}{\pi }}\ {\biggl [}\ &\ell _{1}\ln \left({\frac {2\ell _{1}}{a}}\right)+\ell _{2}\ \ln \left({\frac {2\ell _{2}}{a}}\right)+2{\sqrt {\ell _{1}^{2}+\ell _{2}^{2}\ }}\\&-\ell _{1}\ \sinh ^{-1}\left({\frac {\ell _{1}}{\ell _{2}}}\right)-\ell _{2}\sinh ^{-1}\left({\frac {\ell _{2}}{\ell _{1}}}\right)\\&-\left(2-{\tfrac {1}{4}}Y\ \right)\left(\ell _{1}+\ell _{2}\right)\ {\biggr ]}\end{aligned}}$	$\ell _{1},\ell _{2}$: Longituds laterals $\ \ell _{1}\gg a,\ell _{2}\gg a\$ $a$: Radi del filferro $\mu _{0},I$: vegeu les notes al peu de la taula.
Parell de cables paral·lels	${\mathcal {L}}={\frac {\ \mu _{0}}{\pi }}\ \ell \ \left[\ln \left({\frac {s}{a}}\right)+{\tfrac {1}{4}}Y\right]$	$a$: Radi del filferro $s$: Distància de separació, $s\geq 2a$ $\ell$: Longitud del parell $\mu _{0},I$: vegeu les notes al peu de la taula.
Parell de cables paral·lels (HF)	${\begin{aligned}{\mathcal {L}}&={\frac {\mu _{0}}{\pi }}\ \ell \ \cosh ^{-1}\left({\frac {s}{2a}}\right)\\&={\frac {\mu _{0}}{\pi }}\ \ell \ \ln \left({\frac {s}{2a}}+{\sqrt {{\frac {s^{2}}{4a^{2}}}-1}}\right)\\&\approx {\frac {\mu _{0}}{\pi }}\ \ell \ \ln \left({\frac {s}{a}}\right)\end{aligned}}$	$a$: Radi del filferro $s$: Distància de separació, $s\geq 2a$ $\ell$: Longitud (cadascun) del parell $\mu _{0}$: vegeu les notes al peu de la taula.

$Y$ és un valor aproximadament constant entre 0 i 1 que depèn de la distribució del corrent en el cable: $Y=0$ quan el corrent flueix només en la superfície del cable (efecte de pell complet), $Y=1$ quan el corrent es distribueix uniformement sobre la secció transversal del cable (corrent continu). Per a filferros rodons, Rosa (1908) dona una fórmula equivalent a:

$$Y\approx {\frac {1}{\,1+a\ {\sqrt {{\tfrac {1}{8}}\mu \sigma \omega \,}}\,}}$$

on

• $\omega =2\pi f$ és la freqüència angular, en radiants per segon;
• $\mu =\mu _{0}\,\mu _{\text{r}}$ és la permeabilitat magnètica neta del filferro;
• $\sigma$ és la conductivitat específica del cable; i
• $a$ és el radi del filferro.

${\mathcal {O}}(x)$ representa els termes petits que s'han eliminat de la fórmula per a simplificar-la. Llegir el terme ${}+{\mathcal {O}}(x)$ com "més petites correccions que varien en l'ordre de $x$" (vegeu notació O gran).