Inductància

Inductància

Unitats	henry
Fórmula	$L=\Psi /I$

La inductància és una mesura del flux magnètic $\Phi$ al llarg d'un circuit elèctric creat per un corrent elèctric que flueix a través d'un circuit elèctric i, en conseqüència, crea un camp magnètic; en el Sistema Internacional es mesura en henrys (símbol $H$), en honor de Joseph Henry. Es pot definir com el factor de proporcionalitat entre el flux produït i la intensitat del corrent que el genera:

$L={\frac {\Phi }{i}}$

on $L$ és la inductància, $i$ és la intensitat de corrent (en amperes) i $\Phi$ és el flux de camp magnètic (en webers). S'utilitza el símbol $L$ per a la inductància en honor del físic Heinrich Lenz. El mateix terme "inductància" fou establert per Oliver Heaviside el febrer del 1886. La fórmula anterior utilitzant les unitats del SI, seria:

$1H={\frac {1Wb}{1A}}$

En realitat, la quantitat que acabem de definir és l'anomenada autoinductància, ja que el camp magnètic és creat només pel conductor que transporta el corrent.

D'acord amb la llei d'Ampère i la llei de Lenz, el flux de camp magnètic crea una força electromotriu induïda ($v_{ind}$) al conductor que s'oposa a qualsevol variació del corrent original, de manera que

$v_{ind}=-{\frac {d\Phi }{dt}}$

i substituint el flux per $L\times i$, segons la definició d'inductància que hem donat:

$v_{ind}=-L{\frac {dI}{dt}}$

de manera que podem considerar la inductància com el factor de proporcionalitat entre la força electromotriu induïda i la variació temporal de la intensitat.

Propietats de la inductància

L'equació que relaciona la inductància amb el flux magnètic pot ser modificada d'aquesta manera:

$\Phi =Li\,$

Prenent la derivada respecte del temps als dos costats de l'equació tindrem:

${\frac {d\Phi }{dt}}=L{\frac {di}{dt}}+i{\frac {dL}{dt}}\,$

En moltes situacions la inductància és constant al llarg del temps, per tant

${\frac {d\Phi }{dt}}=L{\frac {di}{dt}}$

Segons la llei de Faraday de la inducció tenim:

${\frac {d\Phi }{dt}}=-{\mathcal {E}}=v$

on ${\mathcal {E}}$ és la força electromotriu (fem) i $v$ és el voltatge induït. Noteu que la fem és oposada al voltatge induït, així:

${\frac {di}{dt}}={\frac {v}{L}}$

o

$i(t)={\frac {1}{L}}\int _{0}^{t}v(\tau )d\tau +i(0)$

Aquestes equacions juntes determinen que per a un voltatge estable induït v, en corrent canvia de manera lineal, segons una raó proporcional al voltatge aplicat, però inversament proporcional a la inductància. Inversament, si el corrent que passa a través de l'inductor canvia de manera constant, el voltatge induït serà constant.

L'efecte de la inductància pot ser estes utilitzant una simple espira de fil conductor com a exemple. Si sobtadament apliquem un voltatge als extrems de l'espira, el corrent canviarà de zero a un valor diferent de zero. Però un corrent diferent de zero induirà un camp magnètic segons la llei d'Ampère, i aquest canvi del camp magnètic induirà una fem que serà oposada a la direcció del canvi en el corrent, la magnitud d'aquesta fem serà proporcional al canvi en el corrent i a la inductància. Quan aquestes forces oposades són en equilibri, el resultat serà un corrent que s'incrementarà linealment amb el temps i on la quantitat de canvi serà determinat pel voltatge aplicat i per la inductància.

Multiplicant l'equació anterior per $di/dt$, amb $Li$ tindrem

$Li{\frac {di}{dt}}={\frac {d}{dt}}{\frac {L}{2}}i^{2}=iv$

Com iv és l'energia transferida al sistema a cada moment, tindrem que $\left(L/2\right)i^{2}$ és l'energia del camp magnètic generada pel corrent.

Anàlisi de circuits fasors i impedància

Utilitzant fasors, la impedància equivalent d'una inductància vindrà donada per:

$Z_{L}=V/I=jL\omega \,$

on

$X_{L}=L\omega \,$ és la reactància inductiva,

$\omega =2\pi f\,$ és la freqüència angular,

L és la inductància,

f és la freqüència, i

j és la unitat imaginària.

Força electromotriu induïda

El flux $\Phi _{i}\ \!$ al través d'una part i-èsima d'un circuit vindrà donat per:

$\Phi _{i}=\sum _{j}M_{ij}I_{j}=L_{i}I_{i}+\sum _{j\neq i}M_{ij}I_{j}\,$

per tant la força electromotriu induïda, ${\mathcal {E}}$, a una part específica, i, a cada circuit donat vindrà determinada directament per:

${\mathcal {E}}=-{\frac {d\Phi _{i}}{dt}}=-{\frac {d}{dt}}\left(L_{i}I_{i}+\sum _{j\neq i}M_{ij}I_{j}\right)=-\left({\frac {dL_{i}}{dt}}I_{i}+{\frac {dI_{i}}{dt}}L_{i}\right)-\sum _{j\neq i}\left({\frac {dM_{ij}}{dt}}I_{j}+{\frac {dI_{j}}{dt}}M_{ij}\right).$