Usuari:Eliasso2/proves/Teorema de Liouville

En anàlisi complexa, el teorema de Liouville és un resultat que sostèn que una funció entera acotada és constant a tot el pla complexe. Va ser enunciat per Joseph Liouville, de qui rep el nom, malgrat que no va ser demostrat fins 1844 per Cauchy.

Demostració

Si $f$ és acotada, llavors $\exists C>0$ tal que $|f(z)|<C\quad \forall z\in \mathbb {C}$. Sigui $z_{0}\in \mathbb {C}$, per la desigualtat de Cauchy, s'obté que $\forall R>0,\,|f'(z)|\leq {\frac {1}{R}}$