Usuari:Freutci/Prova3

Moments

Sigui $X\sim F(d_{1},\,d_{2})$. Llavors $X$ té moment d'ordre $n$ si i només si $n<d_{2}/2$ . En aquest cas,

$$E[X^{n}]={\frac {d_{2}^{n}}{d_{1}^{n}}}\,{\frac {\Gamma (d_{1}/2+n)\,\Gamma (d_{2}/2-n)}{\Gamma (d_{1}/2)\,\Gamma (d_{2}/2)}}={\frac {d_{2}^{n}}{d_{1}^{n}}}\,{\frac {d_{1}(d_{1}+2)\cdots (d_{1}+2n-2)}{(d_{2}-2)(d_{2}-4)\cdots (d_{2}-2n)}}.$$ En particular, si $d_{2}>2$, llavors $X$ te esperança i val $$E[X]={\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}.$$ Si $d_{2}>4$, $X$ te moment de 2n ordre $$E[X^{2}]={\frac {d_{2}^{2}(d_{1}+2)}{d_{1}(d_{2}-2)(d_{2}-4)}}$$ i $${\text{Var}}(X)={\frac {2d_{2}^{2}(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}.$$Prova. Totes les fórmules anteriors es basen en el fet que una distribució khi quadrat no central $\chi _{\alpha }^{2}(\lambda )$ es pot escriure com una mixtura de distribucions $\chi _{\alpha +2k},\ k=0,1,\dots$ amb pesos donats per una distribució de Poisson de paràmetre $\lambda /2$ i en la següent propietat de les mixtures que formulem en termes de distribucions de probabilitat a $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$.

Propietat. Siguin $P,\,P_{1},\,P_{2},\dots$ probabilitats a i Considerem una mixtura de probabilitats a  : $$P=\sum _{j}p_{j}P_{j},$$on $P,\,P_{1},\,P_{2},\dots$ són probabilitats a $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$, amb pesos $w_{j}>0$ amb $\sum _{j}w_{j}=1$. Siguin $M$ i $N$ dues variables aleatòries independents tals que $M$ té distribució $P$ . Aleshores la distribució de $MN$ , que designarem per $P_{MN}$ és la mixtura$$P_{MN}=\sum _{j}$$La funció de distribució és$$F(x)=e^{-\lambda /2}\sum \limits _{j=0}^{\infty }{\frac {(\lambda /2)^{j}}{j!}}\,I_{m(x)}{\bigg (}{\frac {\nu _{1}}{2}}+j,{\frac {\nu _{2}}{2}}{\bigg )},\quad x\geq 0,$$on $m(x)=\nu _{1}x/(\nu _{1}x+\nu _{2})$ i $I_{\alpha }(a,b)$ és la funció beta incompleta regularitzada, i