Usuari:Núria Padilla Sanchez/proves

Demostració sense paraules, $\sum (2i-1)=i^{2}$

Demostracions visuals

Les demostracions visuals, també anomenades demostracions sense paraules, són generalment diagrames o imatges que  il·lustren de forma evident la veracitat d’un enunciat matemàtic, sense necessitat de que un text explicatiu les acompanyi. A diferència del que el seu nom suggereix no són considerades matemàticament rigoroses, tot i això són útils per ajudar a intuir com formular o entendre millor la demostració formal. El motiu pel qual no poden ser considerdes demostracions matemàtiques és perquè al ser un dibuix sempre representaran un cas concret del enunciat que demostren. Per ser una prova ha de poder ser generalitzable.

Història

Demostració teorema de Pitàgoras per Chou Pei Suang Ching

Les demostracions visuals estan presents al llarg de la història de les matemàtiques. La primera de la que es té constància és la del Teorema de Pitàgores feta per Chou Pei Suang Ching (500aC -200 aC).

La següent gran contribució va se la obra d'Euclides titulada Elements, on es poden trobar alguns exemples més de demostracions visuals.

Tot i la seva arrel antiga, les demostracions sense paraules s'utilitzen i es creen també en l'actualitat. La revista Mathematics Magazine publica des dels anys 70 una columna amb demostracions visuals.

Exemples

Demostració sense paraules del teorema de Pitàgoras

Teorema de Pitàgoras

El Teorema de Pitàgores pot ser provat sense paraules.

Un dels mètodes consisteix en crear un quadrat de costats $a+b$, amb quatre triangle rectangles de costats $a$, $b$ i $c$ en les cantonades del quadrat, tal que l'espai al mig dels triangles sigui $c^{2}$. Els quatre triangles poden ser reordenats dins del quadrat gran en dos quadrats de $a^{2}$ i $b^{2}$.

Demostració visual de la suma de cubs

Suma de nombres imparells

L'enunciat que la suma de tots els nombres imparells positius fins arribar a $2n-1$ és el quadrat $n^{2}$ pot ser provat sense paraules com observem en la primera imatge.

Suma de cubs

La fòrmula de la suma de de cubs $\sum i^{3}=(\sum i)^{2}$ pot ser provada sense paraules com podem observar en la imatge de la dreta.

Bibliografia

• Nelsen, Roger B. (1997), Proofs without Words: Exercises in Visual Thinking, Mathematical Association of America, p. 160, {{ISBN|978-0-88385-700-7}}.
• Nelsen, Roger B. (2000), Proofs without Words II: More Exercises in Visual Thinking, Mathematical Association of America, pp. 142, {{ISBN|0-88385-721-9}}.
• Alsina, Claudi. Nelsen, Roger B. (2006), Math Made Visual: Creating Images for Understanding Mathematics, ISBN 0883857464.
• Dorce Polo, Carlos (2014), Història de la matemàtica. Des de Mesopotàmia fins al Renaixement, p. 105, ISBN 978-84-475-3707-5.