Vés al contingut

Àlgebra de Witt

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure

En matemàtiques, l'àlgebra de Witt complexa, que porta el nom d'Ernst Witt, és l'àlgebra de Lie de camps vectorials meromòrfics definits a l'esfera de Riemann que són holomòrfiques excepte en dos punts fixos. També és la complexificació de l'àlgebra de Lie de camps vectorials polinomials en un cercle, i l'àlgebra de Lie de derivacions de l'anell C [z, z−1].[1]

Hi ha algunes àlgebres de Lie relacionades definides sobre camps finits, que també s'anomenen àlgebres de Witt.[2]

L'àlgebra complexa de Witt va ser definida per primera vegada per Élie Cartan (1909), i els seus anàlegs sobre camps finits van ser estudiats per Witt als anys trenta.[3]

Base

[modifica]

Una base per a l'àlgebra de Witt ve donada pels camps vectorials , per n in .

El parèntesi de Lie de dos camps vectorials bàsics ve donat per

Aquesta àlgebra té una extensió central anomenada àlgebra de Virasoro que és important en la teoria de camps conformals bidimensionals i en la teoria de cordes.

Tingueu en compte que restringint n a 1,0,-1, s'obté una subàlgebra. Prenent el camp dels nombres complexos, això és només l'àlgebra de Lie del grup Lorentz . Sobre els reals, és l'àlgebra sl (2,R) = su (1,1). Per contra, su (1,1) és suficient per reconstruir l'àlgebra original en una presentació.[4]

n = -1 Camp vectorial de Witt
n = 0 Camp vectorial de Witt
n = 1 Camp vectorial de Witt

Sobre camps finits

[modifica]

Sobre un camp k de característica p > 0, l'àlgebra de Witt es defineix com l'àlgebra de Lie de derivacions de l'anell

k [z]/zp

L'àlgebra de Witt s'estén per L m per a − 1 ≤ mp − 2.

n = -2 Camp vectorial de Witt
n = 2 Camp vectorial de Witt
n = -3 Camp vectorial de Witt

Referències

[modifica]
  1. «[https://www.maths.ed.ac.uk/~s2114179/glams_presentation The Witt algebra Lie algebras Enveloping algebras Big enveloping algebras The Witt algebra, Lie algebras and enveloping algebras]» (en anglès). [Consulta: 30 juliol 2024].
  2. «On generalized Witt algebras in one variable» (en anglès). [Consulta: 30 juliol 2024].
  3. «Witt Groups» (en anglès). [Consulta: 30 juliol 2024].
  4. «Relationship between the Witt algebra and vector fields on the circle» (en anglès). [Consulta: 30 juliol 2024].