Arbre de Pitàgores

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca
Arbre de Pitàgores.

L'Arbre de Pitàgores és un fractal pla construït a partir de quadrats, inventat pel professor Albert E. Bosman en 1942. El nom de Pitàgores es deu al fet que cada unió de 3 quadrats de l'arbre és la típica figura que s'empra per demostrar geomètricament el teorema de Pitàgores.

Construcció[modifica]

L'arbre de Pitàgores es construeix de manera iterativa.[1] El conjunt inicial és un quadrat de costat . En la primera iteració, s'afegeixen dos quadrats de costat en els vèrtexs superiors del quadrat inicial, de tal manera que aquests formen un angle de 45 graus (el buit que queda és un triangle rectangle). En les iteracions següents, es repeteix el procés en cadascun dels quadrats afegits en el pas anterior.

Representació de les primeres 9 iteracions:

Pas n = 0.
Pas n = 1.
Pas n = 2.
Pas n = 3.
Pas n = 4.
Pas n = 5.
Pas n = 6.
Pas n = 7.
Pas n = 8.
Pas n = 9.

El límit d'aquesta successió de conjunts existeix[2] i és el fractal anomenat arbre de Pitàgores.

Propietats[modifica]

  • Si s'elimina la primera funció del sistema de funcions iterades, es té un sistema contractiu que genera un fractal molt semblant a la corba C de Lévy.
Branques finals de l'arbre de Pitàgores.

Variants[modifica]

Si es canvien els angles que formen els quadrats (i, per tant, els seus costats), s'obtenen altres arbres fractals. Per exemple, amb angles de 60 i 30 graus i 9 iteracions es té el següent arbre:

Variant de l'arbre de Pitàgores.

Per als angles y , la raó de contracció dels quadrats ha de ser i , respectivament.[3]

Vegeu també[modifica]

Referències[modifica]

  1. Bosman, Albert E. «De boom van Pythagoras» (en holandès). De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs. [Consulta: 28 març 2019].
  2. Riddle, Lawrence H. «Hausdorff convergence for Pythagorean tree» (en anglès). [Consulta: 28 març 2019].
  3. 3,0 3,1 3,2 «Árbol de Pitágoras» (en espanyol). [Consulta: 28 març 2019].
  4. Llopis, José L. «Fractales autosemejantes» (en espanyol). [Consulta: 28 març 2019].