Camp de Jacobi

Si un insecte es col·loca sobre una superfície i camina contínuament "endavant", per definició traçarà una geodèsica.

En la geometria riemanniana, un camp de Jacobi és un camp vectorial al llarg d'una geodèsica $\gamma$ en una varietat riemanniana que descriu la diferència entre la geodèsica i una geodèsica "infinitesimament propera". En altres paraules, els camps de Jacobi al llarg d'una geodèsica formen l'espai tangent a la geodèsica a l'espai de totes les geodèsiques. Reben el nom de Carl Jacobi.

Definicions i propietats:

Els camps de Jacobi es poden obtenir de la següent manera: Preneu una família de geodèsics d'un paràmetre llis $\gamma _{\tau }$ amb $\gamma _{0}=\gamma$, doncs

$J(t)=\left.{\frac {\partial \gamma _{\tau }(t)}{\partial \tau }}\right|_{\tau =0}$

Camp vectorial al llarg d'una geodèsica..

és un camp de Jacobi i descriu el comportament de les geodèsiques en un veïnatge infinitesimal d'una geodèsica determinada $\gamma$.

Un camp vectorial J al llarg d'una geodèsica $\gamma$ es diu que és un camp de Jacobi si compleix l'equació de Jacobi:

${\frac {D^{2}}{dt^{2}}}J(t)+R(J(t),{\dot {\gamma }}(t)){\dot {\gamma }}(t)=0,$

on D denota la derivada covariant respecte a la connexió Levi-Civita, R el tensor de curvatura de Riemann, ${\dot {\gamma }}(t)=d\gamma (t)/dt$ el camp vectorial tangent, i t és el paràmetre de la geodèsica. En una varietat Riemanniana completa, per a qualsevol camp de Jacobi hi ha una família de geodèsics $\gamma _{\tau }$ descrivint el camp (com en el paràgraf anterior).

L'equació de Jacobi és una equació diferencial ordinària lineal de segon ordre; en particular, els valors de $J$ i ${\frac {D}{dt}}J$ en un moment de $\gamma$ determinar de manera única el camp de Jacobi. A més, el conjunt de camps de Jacobi al llarg d'una geodèsica donada forma un espai vectorial real de dimensió el doble de la dimensió de la varietat.

Com a exemples trivials de camps de Jacobi es poden considerar ${\dot {\gamma }}(t)$ i $t{\dot {\gamma }}(t)$. Aquests corresponen respectivament a les següents famílies de reparametritzacions: $\gamma _{\tau }(t)=\gamma (\tau +t)$ i $\gamma _{\tau }(t)=\gamma ((1+\tau )t)$.

Qualsevol camp de Jacobi $J$ es pot representar d'una manera única com una suma $T+I$, on $T=a{\dot {\gamma }}(t)+bt{\dot {\gamma }}(t)$ és una combinació lineal de camps de Jacobi i trivials $I(t)$ és ortogonal a ${\dot {\gamma }}(t)$, per a tot $t$. El camp $I$ llavors correspon a la mateixa variació de geodèsica que $J$, només amb parametritzacions modificades.