Derivada covariant exterior

Diagrama de recuperació de la derivada covariant del transport paral·lel per a una connexió en un paquet vectorial

En el camp matemàtic de la geometria diferencial, la derivada covariant exterior és una extensió de la noció de derivada exterior a la configuració d'un paquet principal diferenciable o paquet vectorial amb una connexió.

Definició

Sigui G un grup de Lie i P → M un grup G principal en una varietat llisa M. Suposem que hi ha una connexió a P ; això produeix una descomposició natural de suma directa $T_{u}P=H_{u}\oplus V_{u}$ de cada espai tangent als subespais horitzontal i vertical. Sigui $h:T_{u}P\to H_{u}$ la projecció al subespai horitzontal.

Si ϕ és una forma k a P amb valors en un espai vectorial V, aleshores la seva derivada covariant exterior Dϕ és una forma definida per

$D\phi (v_{0},v_{1},\dots ,v_{k})=d\phi (hv_{0},hv_{1},\dots ,hv_{k})$

on v _i són vectors tangents a P en u.

Suposem que ρ : G → GL(V) és una representació de G en un espai vectorial V. Si ϕ és equivariant en el sentit que

$R_{g}^{*}\phi =\rho (g)^{-1}\phi$

on $R_{g}(u)=ug$, aleshores Dϕ és un tensorial (k + 1) (k + 1) -forma sobre P del tipus ρ : és equivariant i horitzontal (una forma ψ és horitzontal si ψ(v₀, ..., v_k) = ψ(hv₀, ..., hv_k).)

Per abús de notació, el diferencial de ρ a l'element d'identitat es pot denotar de nou per ρ :

$\rho :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V).$

Sigui $\omega$ la connexió d'una forma i $\rho (\omega )$ la representació de la connexió en ${\mathfrak {gl}}(V).$ Això és, $\rho (\omega )$ és un ${\mathfrak {gl}}(V)$ -forma valorada, desapareixent en el subespai horitzontal. Si ϕ és una k -forma tensorial de tipus ρ, aleshores

$D\phi =d\phi +\rho (\omega )\cdot \phi ,$

on, seguint la notació en àlgebra de Lie, vam escriure

$(\rho (\omega )\cdot \phi )(v_{1},\dots ,v_{k+1})={1 \over (1+k)!}\sum _{\sigma }\operatorname {sgn} (\sigma )\rho (\omega (v_{\sigma (1)}))\phi (v_{\sigma (2)},\dots ,v_{\sigma (k+1)}).$

A diferència de la derivada exterior habitual, que quadra a 0, la derivada covariant exterior no ho fa. En general, es té, per a una forma tensorial zero ϕ ,

$D^{2}\phi =F\cdot \phi .$

on F = ρ(Ω) és la representació a ${\mathfrak {gl}}(V)$ de la curvatura de dues formes Ω. La forma F de vegades es coneix com el tensor de la força de camp, en analogia amb el paper que juga en l'electromagnetisme. Tingueu en compte que D ² s'esvaeix per a una connexió plana (és a dir, quan Ω = 0 ).

Si ρ : G → GL(Rⁿ), llavors es pot escriure

$\rho (\Omega )=F=\sum {F^{i}}_{j}{e^{j}}_{i}$

on ${e^{i}}_{j}$ és la matriu amb 1 a l'entrada (i, j) i zero a les altres entrades. La matriu ${F^{i}}_{j}$ les entrades de les quals són 2-formes a P s'anomena matriu de curvatura.