Desigualtat d'Askey-Gasper

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca

En matemàtiques, la desigualtat d'Askey-Gasper és una desigualtat per als polinomis de Jacobi provats per Askey & Gasper (1976)[1] i utilitzats en la prova de la conjectura de Bieberbach.

Definició[modifica]

Indica que si β ≥ 0, α + β ≥ −2, i −1 ≤ x ≤ 1 llavors

on

és un polinomi de Jacobi.

El cas quan β = 0 també es pot escriure com

En aquesta forma, amb α com un nombre enter no-negatiu, Louis de Branges va utilitzar la desigualtat en la seva prova de la conjectura de Bieberbach.

Prova[modifica]

Ekhad (1993)[2] va donar una petita prova d'aquesta desigualtat, combinant la identitat

amb la desigualtat de Clausen.

Generalitzacions[modifica]

Gasper & Rahman (2004)[3] dona algunes generalitzacions de la desigualtat d'Askey-Gasper a sèries hipergeomètriques bàsiques.

Referències[modifica]

  1. Askey, Richard; Gasper, George «Positive Jacobi polynomial sums. II» (en anglès). American Journal of Mathematics, 98(3), 1976, pàg. 709–737. DOI: 10.2307/2373813. ISSN: 0002-9327. JSTOR: 2373813.
  2. Ekhad, Shalosh B. «A short, elementary, and easy, WZ proof of the Askey-Gasper inequality that was used by de Branges in his proof of the Bieberbach conjecture» (en anglès). Theoretical Computer Science, 117(1), 1993, pàg. 199–202. DOI: 10.1016/0304-3975(93)90313-I. ISSN: 0304-3975.
  3. Gasper, George; Rahman, Mizan. Cambridge University Press. Basic hypergeometric series (en anglès). 96, 2004 (Encyclopedia of Mathematics and its Applications). DOI 10.2277/0521833574. ISBN 978-0-521-83357-8. 

Bibliografia[modifica]

  • Askey, Richard; Gasper, George. «Inequalities for polynomials». A: American Mathematical Society. The Bieberbach conjecture (West Lafayette, Ind., 1985). 21, 1986, p. 7–32 (Math. Surveys Monogr.). ISBN 978-0-8218-1521-2. 

Vegeu també[modifica]