Dinàmica relativista

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca

La dinàmica relativista apareix amb la teoria de la relativitat (Einstein, 1905) que va redefinir les relacions bàsiques d'espai i temps, així com la variació de la massa en funció de la velocitat, qüestió fonamental per a obtenir la relació d'equivalència general entre massa i energia: E = m c².

Aquesta variació de la massa ocasiona resultats ben diferents entre la dinàmica clàssica i la relativista.

Dinàmica newtoniana[modifica]

F = m · a ;    a = ∂v/∂t ;    v = ∂e/∂t
P = m · v ;    ∂P = F ∂t = m ∂v

Dinàmica relativista[modifica]

massa en repòs:   M
massa inercial:    m = M ɣ           ɣ = (1 – v²/c²)-1/2

Desenvolupament de ∂P = ∂(m v)

∂P = ∂m v + m ∂v = M ∂ɣ v +  ɣ ∂v = M (ɣ' ∂v v + ɣ ∂v) = M ∂v (ɣ' v + ɣ)       

Calcular el terme: ɣ' v + ɣ

Com que: ɣ' = -1/2 ( 1 – v²/c² )-3/2 (-2 v/c²) = ɣ³ v/c²

ɣ' v + ɣ = ɣ³ v²/c² + ɣ = ɣ ( ɣ² v²/c² + 1 ) = ɣ ( c²/(c² - v²) v²/c² + 1 ) =
= ɣ ( v²/(c² - v²) + 1 ) = ɣ ( v² + c² - v²)/(c² - v²) ) = ɣ c²/(c² - v²) ) = ɣ ɣ² = ɣ³

Per tant, s'obté:

 ∂P = M ɣ³ ∂v = m ɣ² ∂v        (1)


Ara s'aïlla ∂v/∂t igualant 1 i l'equació de Newton ∂P = F ∂t:

 ∂v/∂t = F/(m ɣ²)               (2)


Hem obtingut l'equació anàloga en la dinàmica no relativista:

a = F/(m ɣ²) = F/m (1 – v²/c²)

Energia relativista[modifica]

Es veu l'expressió de l'energia cinètica aïllant F en 2:

E = ʃ F ∂e = ʃ m ɣ² ∂v/∂t ∂e =
=ʃv M ɣ³ ∂e/∂t ∂v = M ʃv ɣ³ v ∂v =
= M ʃv (1 – v²/c²)-3/2 v ∂v = -c²/2 M ʃv (1 – v²/c²)-3/2 (-2v/c²) ∂v =
= -2 (-c² M)/2 [(1 – v²/c²)-1/2]ov = M c² ( ɣ – 1 ) =
= M ɣ c² – M c² = m c² – M c² =
= ( m – M  ) c²

Aquest resultat va disparar la intuïció del gran físic Albert Einstein, adonant-se que tota forma d'energia tenia idèntica expressió: equivalència general d'energia i massa. Després, copsaria la importància de la reformulació de la teoria de la relativitat que va fer el geòmetra Hermann Minkowski: rotacions ortogonals en mètrica pseudoeuclídea. Finalment, s'enfrontaria a la tasca de formular la gravitació generalitzant la idea de Minkowski en la geometria no euclídea del matemàtic Bernhard Riemann: mètrica pseudoriemaniana, en què s'interpreta la gravitació en termes de curvatura de l'espai-temps. Hermann Minkowski havia mort prematurament, però la col·laboració del seu col·lega, el matemàtic David Hilbert, amb Einstein seria clau en la formulació final del tractament geomètric de la gravitació.