Distribució predictiva posterior

Distribució predictiva posterior

Tipus	distribució de probabilitat

En l'estadística bayesiana, la distribució predictiva posterior és la distribució de possibles valors no observats condicionats als valors observats.

Donat un conjunt de N iid observacions $\mathbf {X} =\{x_{1},\dots ,x_{N}\}$, un nou valor ${\tilde {x}}$ s'extreurà d'una distribució que depèn d'un paràmetre $\theta \in \Theta$, on $\Theta$ és l'espai dels paràmetres.

$p({\tilde {x}}|\theta )$

Pot semblar temptador connectar una única millor estimació ${\hat {\theta }}$ per $\theta$, però això ignora la incertesa sobre $\theta$, i com que s'ignora una font d'incertesa, la distribució predictiva serà massa estreta. Dit d'una altra manera, prediccions de valors extrems de ${\tilde {x}}$ tindrà una probabilitat menor que si es té en compte la incertesa dels paràmetres donada per la seva distribució posterior.

Una distribució predictiva posterior explica la incertesa sobre $\theta$. La distribució posterior del possible $\theta$ els valors depèn $\mathbf {X}$:

$p(\theta |\mathbf {X} )$

I la distribució predictiva posterior de ${\tilde {x}}$ donat $\mathbf {X}$ es calcula marginant la distribució de ${\tilde {x}}$ donat $\theta$ sobre la distribució posterior de $\theta$ donat $\mathbf {X}$:

$p({\tilde {x}}|\mathbf {X} )=\int _{\Theta }p({\tilde {x}}|\theta )\,p(\theta |\mathbf {X} )\operatorname {d} \!\theta$

Perquè explica la incertesa $\theta$, la distribució predictiva posterior serà, en general, més àmplia que una distribució predictiva que inclou una única millor estimació per $\theta$.

Distribució predictiva anterior vs. posterior

La distribució predictiva prèvia, en un context bayesià, és la distribució d'un punt de dades marginat sobre la seva distribució prèvia. És a dir, si ${\tilde {x}}\sim F({\tilde {x}}|\theta )$ i $\theta \sim G(\theta |\alpha )$, aleshores la distribució predictiva prèvia és la corresponent $H({\tilde {x}}|\alpha )$, on

$p_{H}({\tilde {x}}|\alpha )=\int _{\theta }p_{F}({\tilde {x}}|\theta )\,p_{G}(\theta |\alpha )\operatorname {d} \!\theta$

Això és similar a la distribució predictiva posterior, excepte que la marginació (o equivalentment, expectativa) es pren respecte a la distribució anterior en lloc de la distribució posterior.