Matriu invertible

Donada una matriu quadrada $A$ d'ordre $n$, $A\in M_{n\times n}(\mathbb {R} )$, es diu que $A$ és invertible (regular o no singular) si existeix una altra matriu $B\in M_{n\times n}(\mathbb {R} )$ tal que

$AB=I_{n}=BA$,

on $I_{n}$ és la matriu identitat d'ordre $n$.

Per exemple, les matrius $A={\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}}$ i $B={\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}}$ són inverses l'una de l'altra atès que:

$AB=BA={\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}=I_{3}$

La matriu inversa d'$A$, si existeix, es denota per $A^{-1}$.

Observacions

• Si existeix, la matriu inversa d'una matriu $A$ és única. Efectivament, suposem que $B$ i $C$ són matrius inverses de $A$, aleshores:

$B=BI_{n}=B(AC)=(BA)C=I_{n}C=C$

• No totes les matrius quadrades tenen inversa, només tenen inversa aquelles matrius $A\in M_{n\times n}(\mathbb {R} )$ tals que el seu rang sigui $n$, ${\text{rang}}(A)=n$.
• Si una matriu $A$ té inversa, aleshores no pot existir una altra matriu $B\neq 0$, quadrada o no, tal que $AB=0$. En efecte:

$AB=0\Rightarrow 0=A^{-1}AB=(A^{-1}A)B=I_{n}B=B$

• Si $A,B\in M_{n\times n}(\mathbb {R} )$ són dues matrius invertibles, es compleix:
• $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

La construcció de la matriu $A^{-1}$ que satisfà la igualtat donada més amunt s'anomena inversió de matrius.

Quan una matriu no és invertible es diu que és no invertible o singular. En aquest cas es poden considerar les pseudoinverses.

Inverses generalitzades

Un concepte relacionat amb el d'inversa d'una matriu és el d'inversa generalitzada o pseudoinversa (i, en particular, la pseudoinversa de Moore-Penrose). Mentre la inversa només es pot calcular per algunes matrius, les inverses generalitzades es poden calcular per a qualsevol matriu.