Topologia quocient

En matemàtiques, la topologia quocient és una topologia definida sobre el conjunt quocient generat per una relació d'equivalència sobre un espai topològic.

Definició

Siga $(X,{\mathcal {T}})$ un espai topològic]] i ${\mathcal {R}}$ una relació d'equivalència sobre $X$. El conjunt quocient $X/{\mathcal {R}}$ és el conjunto de les classes d'equivalència dels elements de $X$:

$X/{\mathcal {R}}=\{[x]:x\in X\}$

Els conjunts oberts que conforman l'anomenada topologia quocient sobre $X/{\mathcal {R}}$ són els conjunts de las classes d'equivalència les unions de les quals són conjunts oberts en $X$:

${\mathcal {T}}_{\mathcal {R}}=\{U\subseteq Y:\bigcup _{[x]\in U}[x]\subseteq {\mathcal {T}}_{X}\}.$

Definició equivalent: sigui $p:X\rightarrow X/{\mathcal {R}}$ l'aplicació projecció donada per $p(x)=[x]$, aleshores es defineixen els oberts de ${\mathcal {T}}_{\mathcal {R}}$ com els conjunts $U\subseteq Y$ tals que $p^{-1}(U)\subseteq X$ és obert en $X$.