Topologia quocient

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure
La cinta de Möbius es pot veure com un espai topològic quocient (veure el segon exemple).

En matemàtiques, la topologia quocient és una topologia definida sobre el conjunt quocient generat per una relació d'equivalència sobre un espai topològic.

Definició[modifica]

Siga un espai topològic i una relació d'equivalència sobre . El conjunt quocient és el conjunt de les classes d'equivalència dels elements de :

Els conjunts oberts que conforman l'anomenada topologia quocient sobre són els conjunts de las classes d'equivalència les unions de les quals són conjunts oberts en :

Definició equivalent: sigui l'aplicació projecció donada per , aleshores es defineixen els oberts de com els conjunts tals que és obert en .

Propietats[modifica]

  • L'aplicació que envia a cada element a la seva classe d'equivalència corresponent és continua.[1]
  • Siguen la projecció i . L'aplicació és continua si, i només si, la composició és continua.[1]

Exemples[modifica]

  • El tor com a conjunt quocient:[1] Sobre es defineix la relació d'equivalència i . L'espai quocient és homeomorf a un tor.
Tor
  • La cinta de Möbius com a conjunt quocient:[1] Sobre es defineix la relació d'equivalència . L'espai quocient és homeomorf a una cinta de Möbius.
Banda de Möbius
  • La ampolla de Klein com a conjunt quocient:[2] Sobre es defineix la relació d'equivalència i . L'espai quocient és homeomorf a una ampolla de Klein (es difícil de visualitzar ja que no és homeomorf a un subespai de ).
Fundamental polygon of the Klein bottle.png
  • L'esfera com a conjunt quocient:[3] Sobre es defineix la relació d'equivalència per a de la frontera. L'espai quocient corresponent és homeomorf a una esfera.

Vegeu també[modifica]

Bibliografia[modifica]

Referències[modifica]

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 Llopis, José L. «Espai topològic quocient» (en castellà). Matesfacil. ISSN: 2659-8442 [Consulta: 18 setembre 2019].
  2. A. Stolz, Stephan «Topología algebraica» (en anglès). Universitat de Notre Dame [Consulta: 18 setembre 2019].
  3. «Classificació de superfícies» (en anglès). Universitat de Chicago [Consulta: 18 setembre 2019].