Ampolla de Klein

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Immersió d'una ampolla de Klein en un espai euclidià tridimensional.

En topologia, una ampolla de Klein[1] és una superfície (una varietat topològica bidimensional) no orientable en què no existeix diferència entre la cara interior i l'exterior, ja que l'espai que envolta els dos costats de la superfície és el mateix, i té la característica d'Euler igual a 0. A diferència d'una cinta de Möbius, superfície que tampoc és orientable, una ampolla de Klein no té vores ni fronteres. No en té tampoc l'esfera, però sí que és orientable.[2]

L'ampolla de Klein va ser descrita per primera vegada l'any 1882 pel matemàtic alemany Felix Klein. El seu cognom és l'origen del nom de l'objecte matemàtic.[2]

Un espai euclidià de tres o menys dimensions no pot contenir l'ampolla de Klein, i per això és un objecte que no es pot construir a l'espai físic.[2] Tot i això, se'n solen fer representacions tridimensionals mitjançant una immersió. D'aquesta manera s'obté una superfície que s'interseca amb si mateixa, com la que es mostra a la imatge de la dreta. En realitat, l'ampolla de Klein no s'interseca amb si mateixa, sinó que és localment homeomorfa a \mathbb{R}^2.

Definició[modifica | modifica el codi]

Polígon fonamental de l'Ampolla de Klein.

Una ampolla de Klein és el conjunt quocient d'un quadrat [0,1] × [0,1] amb els costats identificats per les relacions d'equivalència (0, y) ~ (1, y) per 0 ≤ y ≤ 1 i (x, 0) ~ (1 − x, 1) per 0 ≤ x ≤ 1. Aquest quadrat és el polígon fonamental de l'ampolla de Klein.

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Pascual Gainza, Pere; Roig Martí, Agustí. Topologia. Edicions UPC, 2004 [Consulta: 12 gener 2009]. 
  2. 2,0 2,1 2,2 Weisstein, Eric W. «Klein Bottle». WolframMathWorld. [Consulta: 01/12/2009].
A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Ampolla de Klein