Ideal principal: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
Cap resum de modificació |
Cap resum de modificació |
||
| Línia 1: | Línia 1: | ||
Un |
Un '''ideal principal''' és in [[ideal (matemàtiques)|ideal]] generat per un únic element. Essent formals, sigui ''A'' un [[anell (matemàtiques)|anell]] i ''I'' un ideal d'''A'': |
||
* Es diu que ''I'' és un '''ideal principal per l'esquerra''' si existeix un element {{nowrap|''g'' ∈ ''I''}} anomenat generador, tal que tot {{nowrap|''x'' ∈ ''I''}} es pot escriure com {{nowrap|1=''x'' = ''yg''}} per algun ''y'' de l'anell ''A''. Així, tindrem que {{nowrap|1=''I'' = {''yg'' {{!}} ''y'' ∈ ''A''} }} i, de fet, s'acostuma a escriure que {{nowrap|1=''I'' = ''Ag''.}} |
|||
<math>\exists g \in I, \forall a \in I, \exists n \in A, a = ng</math> |
|||
* Es diu que ''I'' és un '''ideal principal per la dreta''' si existeix un element {{nowrap|''g'' ∈ ''I''}} anomenat generador, tal que tot {{nowrap|''x'' ∈ ''I''}} es pot escriure com {{nowrap|1=''x'' = ''gy''}} per algun ''y'' de l'anell ''A''. Així, tindrem que {{nowrap|1=''I'' = {''gy'' {{!}} ''y'' ∈ ''A''} }} i, de fet, s'acostuma a escriure que {{nowrap|1=''I'' = ''gA''.}} |
|||
*Un '''ideal principal''' (pels dos costats) és aquell que és principal per la dreta i per l'esquerra. Això es dóna sempre quan l'anell ''A'' és [[commutatiu]]. En aquest cas s'acostuma a escriure ''I'' = (''g''), tot i que la notació <''g''> també es pot trobar. |
|||
En un [[anell d'ideals principals]], tot ideal es pot escriure com a generat per un únic element. El fet que l'anell dels [[nombres enters]] compleixi aquesta propietat garanteix, per exemple, la propietat del [[màxim comú divisor]] de diversos enters. |
|||
La notació més comuna per a descriure que l''''ideal principal''' <math>I</math> té a <math>g \in I</math> com a generador és aquesta: |
|||
<math>I = (g)</math> |
|||
[[Categoria:Teoria d'anells]] |
[[Categoria:Teoria d'anells]] |
||
[[de:Hauptideal]] |
|||
[[en:Principal ideal]] |
|||
[[es:Ideal principal]] |
|||
[[fr:Idéal principal]] |
|||
[[nl:Hoofdideaal]] |
|||
[[pl:Ideał główny]] |
|||
[[pt:Ideal principal]] |
|||
[[ru:Главный идеал]] |
|||
[[sv:Principalideal]] |
|||
[[uk:Головний ідеал]] |
|||
Revisió del 01:02, 20 set 2009
Un ideal principal és in ideal generat per un únic element. Essent formals, sigui A un anell i I un ideal d'A:
- Es diu que I és un ideal principal per l'esquerra si existeix un element g ∈ I anomenat generador, tal que tot x ∈ I es pot escriure com x = yg per algun y de l'anell A. Així, tindrem que I = {yg | y ∈ A} i, de fet, s'acostuma a escriure que I = Ag.
- Es diu que I és un ideal principal per la dreta si existeix un element g ∈ I anomenat generador, tal que tot x ∈ I es pot escriure com x = gy per algun y de l'anell A. Així, tindrem que I = {gy | y ∈ A} i, de fet, s'acostuma a escriure que I = gA.
- Un ideal principal (pels dos costats) és aquell que és principal per la dreta i per l'esquerra. Això es dóna sempre quan l'anell A és commutatiu. En aquest cas s'acostuma a escriure I = (g), tot i que la notació <g> també es pot trobar.
En un anell d'ideals principals, tot ideal es pot escriure com a generat per un únic element. El fet que l'anell dels nombres enters compleixi aquesta propietat garanteix, per exemple, la propietat del màxim comú divisor de diversos enters.