Zitterbewegung

El Zitterbewegung (de l'alemany Bewegung, "moviment" i zitten "trèmuls, tremolós") és un moviment de vibració ultraràpid al voltant de la trajectòria clàssica d'una partícula quàntica, específicament dels electrons i altres partícules de spin 1/2 , que obeeixen l'equació de Dirac.

Descobriment

L'existència d'aquest moviment va ser proposada inicialment per Erwin Schrödinger el 1930 com a resultat de l'anàlisi del moviment dels paquets d'ona que són solució de l'equació relativista de Dirac.

El resultat d'aquesta anàlisi suggeria que els electrons d'eixos paquets tenien un moviment vibratori a la velocitat de la llum al voltant de la seva trajectòria. Així a més del moviment observat al llarg de la seva trajectòria hi havia una vibració perpendicular al voltant de la trajectòria observada d'amplitud minúscula i difícilment detectable. La freqüència angular d'aquest moviment era $2E/\hbar \approx 2mc^{2}/\hbar \,$, que és aproximadament 1,6×10²¹ Hz. Sent l'amplitud una mica més gran per electrons lents i donada per la longitud d'ona Compton que és l'ordre de 10×10⁻¹⁰ cm.

Teoria

L'equació de Schrödinger depenent del temps

$H\psi (\mathbf {x} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {x} ,t)\,\!$

on $H\,\!$ és el Hamiltonià de Dirac per a un electró en el espai lliure

$H=\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\,\!$

implica que qualsevol operador Q obeeix l'equació

$-i\hbar {\frac {\partial Q}{\partial t}}(t)=\left[H,Q\right]\,\!\;.$

In particular, the time-dependence of the position operator is given by

$\hbar {\frac {\partial x_{k}}{\partial t}}(t)=i\left[H,x_{k}\right]=c\alpha _{k}\,\!\;$

where $\alpha _{k}\equiv \gamma _{0}\gamma _{k}$.

The above equation shows that the operator $\alpha _{k}$ can be interpreted as the kth component of a "velocity operator."

The time-dependence of the velocity operator is given by

$\hbar {\frac {\partial \alpha _{k}}{\partial t}}(t)=i\left[H,\alpha _{k}\right]=2[i\gamma _{k}m-\sigma _{kl}p^{l}]=2i[p_{k}-\alpha _{k}H]\,\!\;$

where $\sigma _{kl}\equiv {\frac {i}{2}}[\gamma _{k},\gamma _{l}]$.

Now, because both $p_{k}$ and $H$ are time-independent, the above equation can easily be integrated twice to find the explicit time-dependence of the position operator. First:

$\alpha _{k}(t)=\alpha _{k}(0)e^{-2iHt/\hbar }+cp_{k}H^{-1}$

Then:

$x_{k}(t)=x_{k}(0)+c^{2}p_{k}H^{-1}t+{1 \over 2}i\hbar cH^{-1}(\alpha _{k}(0)-cp_{k}H^{-1})(e^{-2iHt/\hbar }-1)\,\!$

where $x_{k}(t)\,\!$ is the position operator at time $t\,\!$.