Partició (matemàtiques): diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
Cap resum de modificació |
Cap resum de modificació |
||
Línia 1: | Línia 1: | ||
[[Imatge: Set partition.svg|thumb|220px|Partició del cercle en 6 parts{A <sub> 1 </sub>, ... , A <sub> 6 </sub>}]] |
[[Imatge: Set partition.svg|thumb|220px|Partició del cercle en 6 parts{A <sub> 1 </sub>, ... , A <sub> 6 </sub>}]] |
||
A [[matemàtica]], direm que la [[família de conjunts|família de subconjunts]]{A <sub> i </sub>: '' i '' ∈ I}d'un [[conjunt]] A és una ''' partició ''' (sobre A) si es compleix que: |
A [[matemàtica]], direm que la [[família de conjunts|família de subconjunts]] {A <sub> i </sub>: '' i '' ∈ I}d'un [[conjunt]] A és una ''' partició ''' (sobre A) si es compleix que: |
||
# <math> A_i \neq \emptyset </math> per a tot <math> i \in I </math>. |
# <math> A_i \neq \emptyset </math> per a tot <math> i \in I </math>. |
||
Línia 8: | Línia 8: | ||
Per tant, es tracta d'un [[recobriment (matemàtiques)|recobriment]] en el qual els [[subconjunt]] s pertanyents a la família, dos a dos, són [[conjunts disjunts|disjunts]] (és a dir, el seu [[intersecció de conjunts|intersecció]] és [[conjunt buit|buida]]). |
Per tant, es tracta d'un [[recobriment (matemàtiques)|recobriment]] en el qual els [[subconjunt]] s pertanyents a la família, dos a dos, són [[conjunts disjunts|disjunts]] (és a dir, el seu [[intersecció de conjunts|intersecció]] és [[conjunt buit|buida]]). |
||
== Exemples == |
== Exemples == |
||
* Tot conjunt d'un element{'' x ''}té exactament una partició:{ {'' x ''}}. |
* Tot conjunt d'un element{'' x ''} té exactament una partició:{ {'' x ''}}. |
||
* Per a qualsevol conjunt no buit '' X '', '' P '' ={'' X ''}és una partició de '' X ''. |
* Per a qualsevol conjunt no buit '' X '', '' P '' = {'' X ''} és una partició de '' X ''. |
||
* El conjunt{1, 2, 3}té aquestes 5 particions: |
* El conjunt {1, 2, 3} té aquestes 5 particions: |
||
**{ {1},{2},{3}}, de vegades |
**{ {1},{2},{3}}, de vegades expressada 1/2/3. |
||
**{ {1, 2},{3}}, de vegades |
**{ {1, 2},{3}}, de vegades expressada 12/3. |
||
**{ {1, 3},{2}}, de vegades |
**{ {1, 3},{2}}, de vegades expressada 13/2. |
||
**{ {1},{2, 3}}, de vegades |
**{ {1},{2, 3}}, de vegades expressada 1/23. |
||
**{ {1, 2, 3}}, de vegades |
**{ {1, 2, 3}}, de vegades expressada 123. |
||
* Observeu que |
* Observeu que |
||
**{ {},{1,3},{2}}no és una partició (ja que conté el conjunt buit). |
**{ {},{1,3},{2}}, no és una partició (ja que conté el conjunt buit). |
||
== El nombre de particions d'un conjunt finit == |
== El nombre de particions d'un conjunt finit == |
||
El [[nombre de Bell]] '' B '' <sub> '' n '' </sub>, anomenat així en honor a [[Eric Temple Bell]], és el nombre de particions diferents d'un conjunt amb '' n '' elements. Els primers números de Bell són: '' B '' <sub> 0 </sub> = 1, |
El [[nombre de Bell]] '' B '' <sub> '' n '' </sub>, anomenat així en honor a [[Eric Temple Bell]], és el nombre de particions diferents d'un conjunt amb '' n '' elements. Els primers números de Bell són: '' B '' <sub> 0 </sub> = 1, |
||
'' B '' <sub> 1 </sub> = 1, '' B '' <sub> 2 </sub> = 2, '' B '' <sub> 3 </sub> = 5, '' B '' <sub> 4 </sub> = 15, '' B '' <sub> 5 </sub> = 52, '' B '' <sub> 6 </sub> = 203 [http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000110 |
'' B '' <sub> 1 </sub> = 1, '' B '' <sub> 2 </sub> = 2, '' B '' <sub> 3 </sub> = 5, '' B '' <sub> 4 </sub> = 15, '' B '' <sub> 5 </sub> = 52, '' B '' <sub> 6 </sub> = 203 [http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000110 OEIS:successió] |
||
Els números de Bell satisfan la següent relació recursiva: <math> B_{n+1}= \sum_{k = 0}^n{n \choose k}B_k </math>. |
Els números de Bell satisfan la següent relació recursiva: <math> B_{n+1}= \sum_{k = 0}^n{n \choose k}B_k </math>. |
Revisió del 00:09, 20 març 2010
A matemàtica, direm que la família de subconjunts {A i : i ∈ I}d'un conjunt A és una partició (sobre A) si es compleix que:
- per a tot .
- .
- .
Per tant, es tracta d'un recobriment en el qual els subconjunt s pertanyents a la família, dos a dos, són disjunts (és a dir, el seu intersecció és buida).
Exemples
- Tot conjunt d'un element{ x } té exactament una partició:{ { x }}.
- Per a qualsevol conjunt no buit X , P = { X } és una partició de X .
- El conjunt {1, 2, 3} té aquestes 5 particions:
- { {1},{2},{3}}, de vegades expressada 1/2/3.
- { {1, 2},{3}}, de vegades expressada 12/3.
- { {1, 3},{2}}, de vegades expressada 13/2.
- { {1},{2, 3}}, de vegades expressada 1/23.
- { {1, 2, 3}}, de vegades expressada 123.
- Observeu que
- { {},{1,3},{2}}, no és una partició (ja que conté el conjunt buit).
El nombre de particions d'un conjunt finit
El nombre de Bell B n , anomenat així en honor a Eric Temple Bell, és el nombre de particions diferents d'un conjunt amb n elements. Els primers números de Bell són: B 0 = 1, B 1 = 1, B 2 = 2, B 3 = 5, B 4 = 15, B 5 = 52, B 6 = 203 OEIS:successió
Els números de Bell satisfan la següent relació recursiva: .