Vés al contingut

Estocàstica

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure

L'estocàstica és una disciplina de la matemàtica que combina la teoria de la probabilitat i l'estadística matemàtica per estudiar fenòmens aleatoris. Un procés estocàstic és aquell que té un comportament no determinista. És a dir, un estat no determina plenament el següent o proper estat.[1][2][3] Estocàstic i aleatori són conceptes tècnicament diferents: el primer es refereix a un enfocament de modelització, mentre que el segon descriu fenòmens. A la conversa quotidiana aquests termes sovint s'utilitzen indistintament, però convé no confondre'ls. En teoria de la probabilitat, el concepte formal d'un procés estocàstic també es coneix com a procés aleatori.[4][5][6][7][8]

L'estocàstica s'utilitza en molts camps diferents, com ara el processament d'imatges, el processament de senyals, la informàtica, la teoria de la informació i les telecomunicacions,[9] química,[10] ecologia,[11] neurociència,[12] física,[13][14][15][16] o la criptografia.[17][18] També s'utilitza en finances (per exemple, oscil·lador estocàstic), a causa de canvis aparentment aleatoris en els diferents mercats dins del sector financer i en medicina, lingüística, música, mitjans de comunicació, teoria del color, botànica, indústria manufacturera i geomorfologia.[19][20][21]

Etimologia

[modifica]

El terme prové de l'adjectiu del grec antic στοχαστικος, stochastikos (“hàbil apuntant", especialment referit als arquers), que va derivar en el significat de "conjectural".[22] Al seu torn, l'adjectiu prové de στόχος, stóchos ("diana" o "suposició").[23]

L'Oxford English Dictionary cita l'any 1662 com la seva primera aparició en el sentit actual.[24] A la seva obra sobre probabilitat Ars Conjectandi, publicada originalment en llatí el 1713, el matemàtic suís Jakob Bernoulli va utilitzar la frase "Ars Conjectandi sive Stochastice", que s'ha traduït com "l'art de conjecturar o estocàstica".[25] Aquesta frase va ser utilitzada, amb referència a Bernoulli, per Ladislaus Bortkiewicz,[26] qui el 1917 va escriure en alemany la paraula Stochastik amb un sentit que significa aleatori. El terme procés estocàstic va aparèixer per primera vegada en anglès en un article de 1934 de Joseph L. Doob.[24] Per al terme i una definició matemàtica específica, Doob va citar un altre article de 1934, on Aleksandr Khinchin utilitzava el terme stochastischer Prozeß en alemany,[27][28] tot i que el terme alemany ja havia estat utilitzat anteriorment el 1931 per Andrey Kolmogorov.[29]

Exemples

[modifica]

Les situacions estocàstiques són sistemes complexos on els seus practicants, encara que siguin experts complets, no en poden garantir l'èxit. Per exemple, en medicina n'és un cas clàssic el del doctor que pot administrar el mateix tractament a múltiples pacients que pateixen els mateixos símptomes sense obtenir en tots una reacció completament igual. Això fa de la medicina un procés estocàstic. Altres exemples de processos estocàstics són un projecte arquitectònic, la guerra, la meteorologia o la retòrica, on no es poden pronosticar de manera segura els èxits i fracassos.

En matemàtiques, específicament en la teoria de la probabilitat, els processos estocàstics han estat una àrea d'investigació essencial durant dècades. Sovint es relacionen amb l'estadística. Però això és una equivocació, atès que en l'estocàstica s'utilitzen sovint també sistemes físics. L'estocàstica, per tant, no estudia el mateix que l'estadística.

Matriu estocàstica

[modifica]

Una matriu estocàstica és una matriu que té nombres reals no negatius i on cada fila suma 1.

Creativitat

[modifica]

Simonton (2003, Psych Bulletin) argumenta que la creativitat en la ciència (és a dir, dels científics) és un comportament estocàstic restringit, de manera que les noves teories en totes les ciències són, almenys en part, el producte d'un procés estocàstic.[30]

Música

[modifica]
Article principal: Música Estocàstica

En música, els processos matemàtics basats en la probabilitat poden generar elements estocàstics. Els processos estocàstics es poden utilitzar en música per compondre una peça fixa o es poden produir en una interpretació. La música estocàstica va ser iniciada per Iannis Xenakis, qui va encunyar el terme música estocàstica. Exemples específics de matemàtiques, estadística i física aplicades a la composició musical són l'ús de la mecànica estadística dels gasos a Pithoprakta, la distribució estadística de punts en un pla a Diamorphoses, les restriccions mínimes a Achorripsis, la distribució normal a ST/10 i Atrées, les cadenes de Markov a Analogiques, la teoria de jocs a Duel i Stratégie, la teoria de grups a Nomos Alpha (per a Siegfried Palm), la teoria de conjunts a Herma i Eonta,[31] i el moviment brownià a N'Shima. Xenakis va utilitzar sovint ordinadors per produir les seves partitures, com ara la sèrie ST que inclou Morsima-Amorsima i Atrées, i va fundar el CEMAMu.

El compositor alemany Karlheinz Stockhausen va contribuir pionerament a la música estocàstica a mitjans de la dècada de 1950, formulant criteris “estadístics” de composició inspirats en els seus estudis amb Werner Meyer-Eppler, que se centraven en processos probabilístics i transicions sonores en lloc de determinisme estrictament serial. Aquesta aproximació va evolucionar des del seu serialisme inicial i la música puntual (com Klavierstücke I–IV), passant cap a tècniques de “composició grupal” i estadística, on el focus era el moviment sonor i els canvis d’estat, oposats a l’estatisme. Stockhausen va ser clau en el seu desenvolupament dins del context del serialisme integral i la música concreta, influint en la música electroacústica i experimental posterior. Les seves innovacions van obrir camins a la improvisació electrònica i intuitiva, amb obres com Gesang der Jünglinge exemplificant transicions controlades.

Anteriorment, John Cage i altres havien compost música aleatòria o indeterminada, que es crea per processos aleatoris però no té una base matemàtica estricta (la Music of Changes de Cage, per exemple, utilitza un sistema de gràfics basat en l'I-Ching). Lejaren Hiller i Leonard Issacson van utilitzar gramàtiques generatives i cadenes de Màrkov a la seva Suite Illiac de 1957. Les tècniques modernes de producció de música electrònica fan que aquests processos siguin relativament senzills d'implementar, i molts dispositius de maquinari com ara sintetitzadors i caixes de ritmes incorporen funcions d'aleatorització, de maneta que les tècniques de música generativa són fàcilment accessibles per a compositors, intèrprets i productors.

Reproducció substractiva del color

[modifica]

Quan es fan reproduccions en color, la imatge se separa en els seus colors components fent múltiples fotografies filtrades per a cada color. Una pel·lícula o placa resultant representa cadascuna de les dades de cian, magenta, groc i negre. La impressió en color és un sistema binari, on la tinta hi és present o no, de manera que totes les separacions de color que s'han d'imprimir s'han de traduir en punts en algun moment del flux de treball. Les trames de línies tradicionals que estan modulades per amplitud tenien problemes amb el moaré, però es van utilitzar fins que la trama estocàstica va estar disponible. Un patró de punts estocàstic (o de freqüència modulada) crea una imatge més nítida.

Referències

[modifica]
  1. ↑ «Proceso estocástico - Definición, qué es y concepto» (en castellà). [Consulta: 29 gener 2022].
  2. ↑ «What does stochastic mean?». [Consulta: 29 gener 2022].
  3. ↑ «estocàstic | enciclopèdia.cat». [Consulta: 11 febrer 2022].
  4. ↑ Robert J. Adler. Random Fields and Geometry. Springer Science & Business Media, 29 January 2009, p. 7–8. ISBN 978-0-387-48116-6. 
  5. ↑ David Stirzaker. Stochastic Processes and Models. Oxford University Press, 2005, p. 45. ISBN 978-0-19-856814-8. 
  6. ↑ Loïc Chaumont. Exercises in Probability: A Guided Tour from Measure Theory to Random Processes, Via Conditioning. Cambridge University Press, 19 July 2012, p. 175. ISBN 978-1-107-60655-5. 
  7. ↑ Murray Rosenblatt. Random Processes. Oxford University Press, 1962, p. 91. ISBN 9780758172174. 
  8. ↑ Olav Kallenberg. Foundations of Modern Probability. Springer Science & Business Media, 8 January 2002, p. 24 and 25. ISBN 978-0-387-95313-7. 
  9. ↑ Paul C. Bressloff. Stochastic Processes in Cell Biology. Springer, 22 August 2014. ISBN 978-3-319-08488-6. 
  10. ↑ N.G. Van Kampen. Stochastic Processes in Physics and Chemistry. Elsevier, 30 August 2011. ISBN 978-0-08-047536-3. 
  11. ↑ Russell Lande. Stochastic Population Dynamics in Ecology and Conservation. Oxford University Press, 2003. ISBN 978-0-19-852525-7. 
  12. ↑ Carlo Laing. Stochastic Methods in Neuroscience. OUP Oxford, 2010. ISBN 978-0-19-923507-0. 
  13. ↑ Wolfgang Paul. Stochastic Processes: From Physics to Finance. Springer Science & Business Media, 11 July 2013. ISBN 978-3-319-00327-6. 
  14. ↑ Edward R. Dougherty. Random processes for image and signal processing. SPIE Optical Engineering Press, 1999. ISBN 978-0-8194-2513-3. 
  15. ↑ Thomas M. Cover. Elements of Information Theory. John Wiley & Sons, 28 November 2012, p. 71. ISBN 978-1-118-58577-1. 
  16. ↑ Michael Baron. Probability and Statistics for Computer Scientists, Second Edition. CRC Press, 15 September 2015, p. 131. ISBN 978-1-4987-6060-7. 
  17. ↑ Jonathan Katz. Introduction to Modern Cryptography: Principles and Protocols. CRC Press, 2007-08-31, p. 26. ISBN 978-1-58488-586-3. 
  18. ↑ François Baccelli. Stochastic Geometry and Wireless Networks. Now Publishers Inc, 2009, p. 200–. ISBN 978-1-60198-264-3. 
  19. ↑ J. Michael Steele. Stochastic Calculus and Financial Applications. Springer Science & Business Media, 2001. ISBN 978-0-387-95016-7. 
  20. ↑ Marek Musiela. Martingale Methods in Financial Modelling. Springer Science & Business Media, 21 January 2006. ISBN 978-3-540-26653-2. 
  21. ↑ Steven E. Shreve. Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models. Springer Science & Business Media, 3 June 2004. ISBN 978-0-387-40101-0. 
  22. ↑ Bruguera i Talleda, Jordi; Fluvià i Figueras, Assumpta. «estocàstic». A: Diccionari etimològic. Barcelona: Enciclopèdia Catalana, 1996 (2004, 4a edició), p. 361. ISBN 9788441225169. 
  23. ↑ «Stochastic». A: . Oxford University Press. 
  24. ↑ 24,0 24,1 «Stochastic». A: . Oxford University Press. 
  25. ↑ O. B. Sheĭnin. Theory of probability and statistics as exemplified in short dictums. NG Verlag, 2006, p. 5. ISBN 978-3-938417-40-9. 
  26. ↑ Oscar Sheynin. Alexandr A. Chuprov: Life, Work, Correspondence. V&R unipress GmbH, 2011, p. 136. ISBN 978-3-89971-812-6. 
  27. ↑ Doob, Joseph «Stochastic Processes and Statistics». Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, vol. 20, 6, 1934, pàg. 376–379. Bibcode: 1934PNAS...20..376D. DOI: 10.1073/pnas.20.6.376. PMC: 1076423. PMID: 16587907.
  28. ↑ Khintchine, A. «Korrelationstheorie der stationeren stochastischen Prozesse». Mathematische Annalen, vol. 109, 1, 1934, pàg. 604–615. DOI: 10.1007/BF01449156. ISSN: 0025-5831.
  29. ↑ Kolmogoroff, A. «Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung». Mathematische Annalen, vol. 104, 1, 1931, pàg. 1. DOI: 10.1007/BF01457949. ISSN: 0025-5831.
  30. ↑ Simonton, Dean Keith «Scientific creativity as constrained stochastic behavior: the integration of product, person, and process perspectives.». Psychological Bulletin, vol. 129, 4, 7-2003, pàg. 475–94. DOI: 10.1037/0033-2909.129.4.475. PMID: 12848217.
  31. ↑ Simonton, Dean Keith «Scientific creativity as constrained stochastic behavior: the integration of product, person, and process perspectives.». Psychological Bulletin, vol. 129, 4, 7-2003, pàg. 475–94. DOI: 10.1037/0033-2909.129.4.475. PMID: 12848217.
Obtingut de «https://ca.wikipedia.org/w/index.php?title=Estocàstica&oldid=36672358»