Estrofoide

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Construcció de l'Estrofoide dreta de pol X i de punt fix O, prenent per corba base l'eix Oy.

En matemàtiques, i més precisament en geometria, una corba estrofoide, o simplement una estrofoide, és una corba engendrada a partir d'una corba donada C i de dos punts A (el punt fix) i O (el pol).

En el cas particular on C és una recta, A pertany a C, i O no pertany a C, la corba s'anomena una estrofoide obliqua. Si, de més OA és perpendicular a C, la corba és anomenada una estrofoide dreta, o simplement una estrofoide per certs autors. L'estrofoide dreta de vegades també s'anomena corba logocíclica.

Construcció[modifica | modifica el codi]

Construcció d'una estrofoide en el cas general

La corba Estrofoidal que correspon a la corba C, amb el punt fix A i el pol O es construeix de la manera següent: sigui L una recta mòbil que passa per O i que talla C en K. Siguin llavors P1 i P2 els dos punts de L tals que P1K = P2K = AK. El lloc geomètric dels punts P 1 i P2 s'anomena l'estrofoide de C relativa al pol O i amb el punt fix A. S'observa que AP1 i AP2 són ortogonals.

Equacions[modifica | modifica el codi]

Coordenades polars[modifica | modifica el codi]

Sigui la corba C donada per r = f(\theta), on l'origen es pren a O. Sigui A el punt de coordenades cartesianes (a, b). Si K = (r \cos\theta,\ r \sin\theta) és un punt de la corba, la distància de K à A és

d = \sqrt{(r \cos\theta - a)^2 + (r \sin\theta - b)^2} = \sqrt{(f(\theta) \cos\theta - a)^2 + (f(\theta) \sin\theta -b)^2}.

Els punts de la recta OK tenen per angle polar \theta, i els punts a distància d de K sobre aquesta recta són a una distància f(\theta) \pm d de l'origen. Per tant, l'equació de l'estrofoide ve donada per

r = f(\theta) \pm \sqrt{(f(\theta) \cos\theta - a)^2 + (f(\theta) \sin\theta - b)^2}.

Coordenades cartesianes[modifica | modifica el codi]

Sigui C d'equacions paramètriques (x=x (t),y =y(t)). Sigui A el punt (a, b) i O el punt (p, q). Llavors, les fórmules polars precedents mostren que la representació paramètrica de l'estrofoide és:

x=u(t) = p + (x(t)-p)(1 \pm n(t)),\ y= v(t) = q + (y(t)-q)(1 \pm n(t)),

on

n(t) = \sqrt{\frac{(x(t)-a)^2+(y(t)-b)^2}{(x(t)-p)^2+(y(t)-q)^2}}.

Una altra fórmula polar[modifica | modifica el codi]

La complexitat de les fórmules precedents limita la seva utilitat a la pràctica. Existeix per això una forma alternativa de vegades més senzilla, que és particularment útil quan C és una sectriu de Maclaurin de pols O i A.

Sigui O l'origen i A el punt (a, 0). Sigui K un punt de la corba, \theta l'angle entre OK i l'eix OX, i \vartheta l'angle entre AK i l'eix OX. Se suposa que \vartheta es doni en funció de \theta, sota la forma \vartheta = l(\theta). Sigui \psi l'angle en K, dons \psi = \vartheta - \theta. Es pot determinar r en funció de l fent servir la llei del sinus: com

{r \over \sin \vartheta} = {a \over \sin \psi},\ r = a \frac {\sin \vartheta}{\sin \psi} = a \frac {\sin l(\theta)}{\sin (l(\theta) - \theta)}.

Siguin P1 i P2 els punts de la recta OK a distància AK de K, numerats de forma que \psi = \widehat{P_1Ka} i \pi-\psi = \widehat{ Akp_2}. El triangle P_1KA és isòsceles d'angle al vèrtex \psi, per tant els angles de la base, \widehat{ AP_1K} i \widehat{ KAP_1}, valent(\pi-\psi)/2. L'angle entre AP 1 i l'eix OX és llavors

l_1(\theta) = \vartheta + \angle KAP_1 = \vartheta + (\pi-\psi)/2 = \vartheta + (\pi - \vartheta + \theta)/2 = (\vartheta+\theta+\pi)/2.

Emprant el fet que AP1 i AP2 són perpendiculars (ja que el triangleAP1P2 és inscrit en un semicercle), l'angle entre Ap2 i l'eix OX val

l_2(\theta) = (\vartheta+\theta)/2.

L'equació polar de l'estrofoide es dedueix llavors de l 1 i l2 segons les fórmules precedents:

r_1=a \frac {\sin l_1(\theta)}{\sin (l_1(\theta) - \theta)} = a \frac {\sin ((l(\theta)+\theta+\pi)/2)}{\sin ((l(\theta)+\theta+\pi)/2 - \theta)} = a \frac{\cos ((l(\theta)+\theta)/2)}{\cos ((l(\theta)-\theta)/2)}
r_2=a \frac {\sin l_2(\theta)}{\sin (l_2(\theta) - \theta)} = a \frac {\sin ((l(\theta)+\theta)/2)}{\sin ((l(\theta)+\theta)/2 - \theta)} = a \frac{\sin((l(\theta)+\theta)/2)}{\sin((l(\theta)-\theta)/2)}

C és una sectriu de Maclaurin de pols O i A quan l és de la forma q \theta + \theta_0; en aquest cas l1 i l2 tenen la mateixa forma, i l'estrofoide és o bé una altra sectriu de Maclaurin, o bé una parella de sectrius; se'n pot trobar una equació polar senzilla si es pren l'origen al punt simètric de A respecte de O.

Casos particulars[modifica | modifica el codi]

Estrofoides obliqües[modifica | modifica el codi]

Soit C une droite passant par A. Alors, dans les notations précédentes, l(\theta) = \alpha, où\alpha est une constante, et l_1(\theta) = (\theta + \alpha + \pi)/2 ; l_2(\theta) = (\theta + \alpha)/2. Avec l'origine en O, les équations polaires de la estrofoide correspondante, appelée une estrofoide oblique deviennent

Sigui C una recta que passa per A. Llavors, en les notacions precedents, l(\theta) = \alpha, on \alpha és una constant, i l_1(\theta) = (\theta + \alpha + \pi)/2; l_2(\theta) = (\theta + \alpha)/2. Amb l'origen a O, les equacions polars de l'estrofoide corresponent, anomenada una estrofoide obliqua esdevenen

r = a \frac{\cos ((\alpha+\theta)/2)}{\cos ((\alpha-\theta)/2)}

i

r = a \frac{\sin ((\alpha+\theta)/2)}{\sin ((\alpha-\theta)/2)}.

Es verifica fàcilment que aquestes dues equacions descriuen de fet la mateixa corba.

Desplaçant l'origen en A (veure, l'article sectriu de Maclaurin) i reemplaçant −a per a, s'obté

r=a\frac{\sin(2\theta-\alpha)}{\sin(\theta-\alpha)} ;

una rotació de \alpha transforma aquesta equació en

r=a\frac{\sin(2\theta+\alpha)}{\sin(\theta)}.

En coordenades cartesianes (i canviant les constants), s'obté

y(x^2+y^2)=b(x^2-y^2)+2cxy.

És una cúbica, unicursal segons l'equació polar. Posseeix una sungularitat a (0, 0), i la recta y =b n'és asímptota.

L'estrofoide dreta[modifica | modifica el codi]

Estrofoide dreta.

Posant \alpha = \pi/2 en

r=a\frac{\sin(2\theta-\alpha)}{\sin(\theta-\alpha)},

s'obté

r=a\frac{\cos 2\theta}{\cos \theta} = a(2\cos\theta-\sec\theta).

Aquesta corba s'anomena l' estrofoide dreta, i correspon al cas on C és l'eix Oy, O és l'origen, i A és el punt (a,0).

L'equació cartesiana és

y^2 = x^2(a-x)/(a+x) ;

una representació paramètrica unicursal és:

x = -a\frac{1-t^2}{1+t^2}


y = -a t \frac{1-t^2}{1+t^2}.

La corba s'assembla al foli de Descartes, i la recta x = −a és asímptota en les dues branques infinites. La corba posseeix dues asímptotes més "imaginaries" en el pla complex {\mathbb C}^2, donades per

x\pm iy = -a.

Estrofoides de circumferències que pasen pels punts fixos[modifica | modifica el codi]

Sigui C una circumferència que passa per O i A. Prenent O per origen i A en (a, 0), s'obté, amb les notacions precedents, l(\theta) = \alpha+\theta, on \alpha és una constant. Així, l_1(\theta) = \theta + (\alpha + \pi)/2 i l_2(\theta) = \theta + \alpha/2. Llavors les equacions polars de les estrofoides corresponents són

r = a \frac{\cos (\theta+\alpha/2)}{\cos (\alpha/2)}

i

r = a \frac{\sin (\theta+\alpha/2)}{\sin (\alpha/2)}.

Són les equacions de dos circumferències que passen també per O i A, i formen angles de \pi/4 amb C en aquests punts.

Referències[modifica | modifica el codi]