Estrofoide

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Construcció de l'Estrofoide dreta de pol X i de punt fix O, prenent per corba base l'eix Oy.

En matemàtiques, i més precisament en geometria, una corba estrofoide, o simplement una estrofoide, és una corba engendrada a partir d'una corba donada C i de dos punts A (el punt fix) i O (el pol).

En el cas particular on C és una recta, A pertany a C, i O no pertany a C, la corba s'anomena una estrofoide obliqua. Si, de més OA és perpendicular a C, la corba és anomenada una estrofoide dreta, o simplement una estrofoide per certs autors. L'estrofoide dreta de vegades també s'anomena corba logocíclica.

Construcció[modifica | modifica el codi]

Construcció d'una estrofoide en el cas general

La corba Estrofoidal que correspon a la corba C, amb el punt fix A i el pol O es construeix de la manera següent: sigui L una recta mòbil que passa per O i que talla C en K. Siguin llavors P1 i P2 els dos punts de L tals que P1K = P2K = AK. El lloc geomètric dels punts P 1 i P2 s'anomena l'estrofoide de C relativa al pol O i amb el punt fix A. S'observa que AP1 i AP2 són ortogonals.

Equacions[modifica | modifica el codi]

Coordenades polars[modifica | modifica el codi]

Sigui la corba C donada per , on l'origen es pren a O. Sigui A el punt de coordenades cartesianes (a, b). Si és un punt de la corba, la distància de K à A és

.

Els punts de la recta OK tenen per angle polar , i els punts a distància d de K sobre aquesta recta són a una distància de l'origen. Per tant, l'equació de l'estrofoide ve donada per

.

Coordenades cartesianes[modifica | modifica el codi]

Sigui C d'equacions paramètriques (x=x (t),y =y(t)). Sigui A el punt (a, b) i O el punt (p, q). Llavors, les fórmules polars precedents mostren que la representació paramètrica de l'estrofoide és:

,

on

.

Una altra fórmula polar[modifica | modifica el codi]

La complexitat de les fórmules precedents limita la seva utilitat a la pràctica. Existeix per això una forma alternativa de vegades més senzilla, que és particularment útil quan C és una sectriu de Maclaurin de pols O i A.

Sigui O l'origen i A el punt (a, 0). Sigui K un punt de la corba, l'angle entre OK i l'eix OX, i l'angle entre AK i l'eix OX. Se suposa que es doni en funció de , sota la forma . Sigui l'angle en K, dons . Es pot determinar r en funció de l fent servir la llei del sinus: com

.

Siguin P1 i P2 els punts de la recta OK a distància AK de K, numerats de forma que i . El triangle és isòsceles d'angle al vèrtex , per tant els angles de la base, i , valent. L'angle entre AP 1 i l'eix OX és llavors

.

Emprant el fet que AP1 i AP2 són perpendiculars (ja que el triangleAP1P2 és inscrit en un semicercle), l'angle entre Ap2 i l'eix OX val

.

L'equació polar de l'estrofoide es dedueix llavors de l 1 i l2 segons les fórmules precedents:

C és una sectriu de Maclaurin de pols O i A quan l és de la forma ; en aquest cas l1 i l2 tenen la mateixa forma, i l'estrofoide és o bé una altra sectriu de Maclaurin, o bé una parella de sectrius; se'n pot trobar una equació polar senzilla si es pren l'origen al punt simètric de A respecte de O.

Casos particulars[modifica | modifica el codi]

Estrofoides obliqües[modifica | modifica el codi]

Soit C une droite passant par A. Alors, dans les notations précédentes, , où est une constante, et ; . Avec l'origine en O, les équations polaires de la estrofoide correspondante, appelée une estrofoide oblique deviennent

Sigui C una recta que passa per A. Llavors, en les notacions precedents, , on és una constant, i ; . Amb l'origen a O, les equacions polars de l'estrofoide corresponent, anomenada una estrofoide obliqua esdevenen

i

.

Es verifica fàcilment que aquestes dues equacions descriuen de fet la mateixa corba.

Desplaçant l'origen en A (veure, l'article sectriu de Maclaurin) i reemplaçant −a per a, s'obté

 ;

una rotació de transforma aquesta equació en

.

En coordenades cartesianes (i canviant les constants), s'obté

.

És una cúbica, unicursal segons l'equació polar. Posseeix una sungularitat a (0, 0), i la recta y =b n'és asímptota.

L'estrofoide dreta[modifica | modifica el codi]

Estrofoide dreta.

Posant en

,

s'obté

.

Aquesta corba s'anomena l'estrofoide dreta, i correspon al cas on C és l'eix Oy, O és l'origen, i A és el punt (a,0).

L'equació cartesiana és

;

una representació paramètrica unicursal és:


.

La corba s'assembla al foli de Descartes, i la recta x = −a és asímptota en les dues branques infinites. La corba posseeix dues asímptotes més "imaginaries" en el pla complex , donades per

.

Estrofoides de circumferències que pasen pels punts fixos[modifica | modifica el codi]

Sigui C una circumferència que passa per O i A. Prenent O per origen i A en (a, 0), s'obté, amb les notacions precedents, , on és una constant. Així, i . Llavors les equacions polars de les estrofoides corresponents són

i

.

Són les equacions de dos circumferències que passen també per O i A, i formen angles de amb C en aquests punts.

Referències[modifica | modifica el codi]