Fórmula baromètrica

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

La Fórmula baromètrica o Fórmula de l'anivellament baromètric descriu el repartiment vertical de les molècules de gas a l'atmosfera terrestre i per tant la variació de la pressió en funció de l'altitud.

Es parla així d'un gradient de pressió vertical, però que només a base d'aproximacions es pot descriure matemàticament per la raó de la dinàmica del clima en l'atmosfera inferior. En una primera aproximació es pot suposar que a nivell del mar la pressió disminueix un hectopascal quan l'altitud augmenta de 8 metres.

Equació hidrostàtica[modifica | modifica el codi]

Volum elemental, notacions i forces aplicades

La variació de la pressió i de la massa volúmica de l'aire dins l'atmosfera es descriu per l'equació hidrostàtica. Per establir-la, considerarem un volum elemental de superfície de base A i d'alçada infinitesimal dh, contenint l'aire de massa volúmica ρ. El pes de P d'aquest volum d'aire es dóna per . Sota del volum s'exerceix una força cap amunt deguda a la pressió atmosfèrica p. La força exercida cap avall per la pressió atmosfèrica a la part superior del volum és . No cal considerar les forces de pressió que s'exerceixen sobre els costats del volum elemental, car elles s'equilibren.

A l'equilibri hidrostàtic, la suma vectorial de les forces que s'exerceixen sobre el volum elemental és nul·la:

si .

S'obté la relació : .

Per la llei dels gasos perfectes, la massa volúmica de l'aire s'escriu : . Així :

   

M és la massa molar mitjana del gas de l'atmosfera (0,02896 kg•mol−1), g és l'acceleració de la gravetat (9,807 m•s−2), R és la constant universal dels gasos perfectes (8,314 J•K−1•mol−1) i T és laemperatura absoluta.


L'equació hidrostàtica descriu amb quina quantitat de p la pressió atmosfèrica varia per a una petita variació de h de l'altitud. Com mostra la presència del signe menys, de p és negativa quan de h és positiu : la pressió disminueix quan l'altitud augmenta. Per exemple, a una pressió mitjana de p = 1013 hPa al nivell del mar i per a una temperatura de 288 K (15 °C), la pressió disminueix en 0,12 hPa quan l'altitud augmenta 1 m, i d'1 hPa quan l'altitude augmenta 8,3 m. Es diu nivell baromètric a la diferència d'altitud per la qual la diferència de pressió és d'1 hPa. Per altituds i temperatures més altes, la pressió varia més lentament i augmenta el nivell baromètric.

En general, es vol obtenir valors explícits per la pressió o la densitat com una funció de l'altitud. Es poden obtenir les fluctuacions de pressió per variacions de l'altura de grans dimensions utilitzant el mètode de separació de les variables: integrant l'equació baromètrica: .


La integració de l'esquerra dóna . Per integrar el costat dret, hem de conèixer la dependència de l'altitud de T i g. L'acceleració de la gravetat es pot considerar constant per altures raonables. En contrast, T varia de manera complexa i impredictible depenent de l'altitud. Per tant, cal fer hipòtesis simplificadores sobre l'evolució de T, basada en l'altitud h.


Atmosfera isoterma[modifica | modifica el codi]

La fórmula de l'anivellament baromètric per l'atmosfera isoterma és la hipòtesi més sovint citada. La temperatura T és uniforme sigui quina sigui l'altitud.

Establiment de l'equació baromètrica[modifica | modifica el codi]

Per a T constant, la integració de l'equació baromètica dóna :

Introduint l'altitud caracteística , se simplifica l'equació en :

   

A cada augment de l'altitud de hs, la pressió disminueix d'un factor . L'altitud característica és així in mesurament natural de l'altitud de l'atmosfera i de l'evolució de la pressió dins d'ella. Per aquest model d'atmosfera, val al voltant 8,4 km per T = 15 °C.

La massa volúmic s'expressa de manera similar :

   


Taula del nivell d'anivellament baromètric[modifica | modifica el codi]

  Nivell d'anivellament baromètric[m/hPa]
h −15 °C 0 °C 15 °C 30 °C
0 m 7,5 7,9 8,3 8,8
500 m 7,9 8,3 8,7 9,2
1000 m 8,3 8,7 9,2 9,6
2000 m 9,3 9,7 10,1 10,6
3000 m 10,4 10,8 11,2 11,6

Per altituds i temperatures mitjanes, sovint s'utilitza la fórmula «1 hPa / 30ft». Aquesta aproximació sovint és utilitzada pels pilots d'avions per a càlculs mentals ràpids.

Fórmula internacional de l'anivellament baromètric[modifica | modifica el codi]

Prenent el nivell del mar com a altitud de referència h0, i considerant per l'amosfera un estat mitjà definit per l'Atmosfera normalitzada tipus OACI (Temperatura 15 °C = 288,15 K, pressió 1013,25 hPa, gradient vertical de temperatura 0,65 K per 100 m), s'obté la fórmula internacional d'anivellament baromètric :

Aquesta fórmula permet el càlcul de la pressió a una certa altitud, sense haver de conèixer la temperatura o el gradient vertical de temperatura. Tanmateix la seva precisió és limitada.