Fórmula de Faulhaber

En matemàtiques, la fórmula de Faulhaber, en honor de Johann Faulhaber, expressa la suma de les potències dels primers n nombres naturals

$\sum _{k=1}^{n}k^{p}=1^{p}+2^{p}+3^{p}+\cdots +n^{p}$

com un polinomi en n de grau $(p+1)$, els coeficients dels quals es construeixen a partir dels nombres de Bernoulli. La fórmula és la següent:

$\sum _{k=1}^{n}k^{p}={1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}B_{j}n^{p+1-j}\qquad \left({\mbox{ amb }}b_{1}=+{1 \over 2}{\mbox{ en comptes de }}-{1 \over 2}\right)$

Faulhaber mai no va conèixer aquesta fórmula general; el que sí que va conèixer van ser almenys els primers 17 casos i el fet que, si l'exponent és senar, llavors la suma és una funció polinòmica de la suma al cas especial en què l'exponent sigui 1. També va fer algunes generalitzacions (vegeu Knuth).

La demostració de la fórmula de Faulhaber es pot trobar a The Book of Numbers de John Horton Conway i Richard Guy.

Els primers casos

$1+2+3+\cdots +n={n(n+1) \over 2}={n^{2}+n \over 2}$

$1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}={n(n+1)(2n+1) \over 6}={2n^{3}+3n^{2}+n \over 6}$

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=\left({n^{2}+n \over 2}\right)^{2}={n^{4}+2n^{3}+n^{2} \over 4}$

$1^{4}+2^{4}+3^{4}+\cdots +n^{4}={6n^{5}+15N^{4}+10n^{3}-n \over 30}$

$1^{5}+2^{5}+3^{5}+\cdots +n^{5}={2n^{6}+6n^{5}+5n^{4}-n^{2} \over 12}$

$1^{6}+2^{6}+3^{6}+\cdots +n^{6}={6n^{7}+21N^{6}+21N^{5}-7N^{3}+n \over 42}$

Forma alternativa

Si l'índex de suma de la sèrie va des d'1 fins a $n-1$ en comptes d'anar des d'1 fins a n, aquestes fórmules són modificades de tal manera que l'únic canvi és que es pren $B_{1}=-1/2$ en comptes de +1/2 (és a dir, en aquest cas, en la fórmula només hi intervenen nombres de Bernoulli). Així, el segon terme de major ordre en tots els resultats anteriors canvia el símbol de suma pel de diferència.

Relació amb els polinomis de Bernoulli

La fórmula de Faulhaber es pot escriure en funció dels polinomis de Bernoulli així:

$\sum _{k=0}^{n}k^{p}={\frac {B_{p+1}(n+1)-B_{p+1}(0)}{p+1}},$

Forma llindar

Al càlcul llindar clàssic, es tracta formalment als índexs j en una seqüència $B_{j}$ com si aquests fossin exponents. Fent això, es pot aplicar el teorema del binomi i obtenir:

$\sum _{k=1}^{n}k^{p}={1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}B_{j}n^{p+1-j}={1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}B^{j}n^{p+1-j}$

$={(B+n)^{p+1}-B^{p+1} \over p+1}.$

En el càlcul llindar modern, es construeix el funcional lineal T a l'espai vectorial de polinomis en una variable b donada per:

$T(b^{j})=B_{j}.\,$

Llavors s'obté

$\sum _{k=1}^{n}k^{p}={1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}B_{j}n^{p+1-j}={1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}T(b^{j})n^{p+1-j}$

$={1 \over p+1}T\left(\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}b^{j}n^{p+1-j}\right)=T\left({(b+n)^{p+1}-b^{p+1} \over p+1}\right).$

Polinomis de Faulhaber

Faulhaber va observar que, si p és senar, llavors

$1^{p}+2^{p}+3^{p}+\cdots +n^{p}\,$

és un polinomi en a , on a és la suma dels n primers naturals:

$a=1+2+3+\cdots +n.\,$

En particular es té:

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=a^{2}\,$

$1^{5}+2^{5}+3^{5}+\cdots +n^{5}={4a^{3}-a^{2} \over 3}$

$1^{7}+2^{7}+3^{7}+\cdots +n^{7}={12^{4}-8a^{3}+2a^{2} \over 6}$

$1^{9}+2^{9}+3^{9}+\cdots +n^{9}={16^{5}-20^{4}+12^{3}-3a^{2} \over 5}$

$1^{11}+2^{11}+3^{11}+\cdots +n^{11}={32^{6}-64^{5}+68^{4}-40^{3}+5a^{2} \over 6}.$

La primera d'aquestes identitats és el teorema de Nicomachus. Alguns autors anomenen els polinomis de la dreta d'aquestes identitats "polinomis de Faulhaber en a".

Referències

• The Book of Numbers , John H. Conway, Richard Guy, Spring, 1998, ISBN 0-387-97993-X, page 107
• CRC Concise Encyclopedia of Mathematics , Eric Weisstein, Chapman & Hall/CRC, 2003, ISBN 1-58488-347-2, page 2331
• "Johann Faulhaber and Sums of Powers" per Donald Knuth
• MathWorld: urlname: FaulhabersFormula. Faulhaber s formula
• "Darinnen die miraculosische Inventiones zu donin höchsten Cossen weiters continuirt und profitiert werden", Acadèmia Algebrae , Johann Faulhaber, Augpurg, bei Johann Ulrich Schöigs, 1631.